复变函数(第四版)课件--章节2.344185.ppt

1 、指数函数 1.定义 如果函数f(z)满足下列三个条件:i) ez不等于零, 且|exp z|=ex;ii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex, 其中x=Re(z)；iii) f(z)在复平面内解析，且f ’(z)=f(z) 。 称f(z) 为指数函数 2.性质 i)在复平面处处解析的函数, 且有f (z)=f(z), 当y=0时, f(z)=ex.记作 exp z=ex(cos y+isin y). 等价于关系式: |exp z|=ex, Arg(exp z)=y+2kp  所以exp z?0. ii) exp z服从加法定理: exp z1?exp z2 = exp(z1+z2) 事实上, 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定义有 i iii) exp z的周期性, 它的周期性是2kpi, 即 ez+2kpi=eze2kpi=ez其中k为任何整数. 注意：为了方便, 往往用ez代替exp z. 这里的ez没有幂的意义, 仅仅作为代替exp z的符号使用。  2 、对数函数 1.定义 对数函数定义为指数函数的反函数. 将满足方程 ew=z (z?0)的函数w=f(z)称为对数函数. 令w=u+iv, z=reiq, 则 eu+iv=reiq,所以 u=ln r, v=q.因此 w=ln|z|+iArg z由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z)为多值函数, 并且每两个值相差2pi的整数倍,记作 2.公式 Ln z=ln|z|+iArg z 主值 ln z = ln|z|+iarg z 而其余各值可由 Ln z=ln z+2kpi (k=?1,?2,...) (2.11)表达. 对于每一个固定的k, (2.11)式为一单值函数, 称为Ln z的一个分支.特别, 当z=x0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实变数对数函数. 例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值.[解] 因为Ln 2=ln 2+2kpi, 所以它的主值就是ln2. 而Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k为整数), 所以它的主值是ln(-1)=pi.注：在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷多值的. 因此, 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 3.性质: i) ii)对数函数的解析性.  就主值ln z而言, 其中ln|z|除原点外在其它点都是连续的, 而arg z在原点与负实轴上都不连续. 因为若设z=x+iy, 则当z0时, 所以, ln z在除去原点及负实轴的平面内解析. Ln z的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析, 并且有相同的导数值. 今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支. 3 、乘幂与幂函数 1.定义 乘幂 设a为不等于0的一个复数, b为任意一个复数, 定义乘幂ab为ebLna, 即ab = ebLna 由于Ln a=ln|a|+i(arg a+2kip)是多值的, 因而ab也是多值的. 说明: (1) 当b为整数时, 由于 ab =ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kp)] =ea(ln|a|+iarg a)+2kbpi=eblna,所以这时ab具有单一的值. iii)公式 所以 双曲函数 1.定义 5 、反三角函数和反双曲函数 6 、 小结与思考 同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式: 2. 反双曲函数的定义 补充题 解 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 分成单值解析分支的方法 2.指数函数具有周期性 3. 负数无对数的结论不再成立 作业：第68页15,18,20题 §2.3 初等函数 一、 指数函数 二 、对数函数 三 、乘幂与幂函数 四 、三角函数和双曲函数 五 、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考 所以, 除去原点与负实轴, 在复平面内其它点ln z处处连续. 综上所述, z=ew在区域 -pv=arg zp内的反函数w=ln z是单值的, 由反函数求导法则可知: 具有q个值, 即当k=0,1,...,