复变函数与积分变换第2章_解析函数ppt.ppt

又解 不定 积分 法 例2 验证是z平面上的调和函数,并求以为实部的解析函数,使 解 因在z平面上任一点 故在平面z上为调和函数. 先由C.-R条件中的一个得 再由C.-R条件中的另一个得 即 故 故 因此 由 得: §2.3初等解析函数 1.指数函数 2.对数函数 3.幂函数 4.三角函数 5.反三角函数 定义： 性质： 1. 指数函数 2 对数函数 定义： 记： 多值性 -------主值支 例1 求 解 因为 的模为 ，其辐角的主值为 ， 所以 而 又因为 的模为 ，而其辐角的主值为， 所以 性质： (2) Ln z为无穷多值函数，每两个值相差2π i的整数倍 (4) 除去原点与负实轴, ln z在复平面内处处解析：今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去 原点及负实轴的平面内的某一单值分支. 复变量对数函数具有与实变量对数函数同样的基本性质： （1） （2） （3） 3 幂函数 定义： ---- 单值函数 ---- n值函数 ---- n值函数 ---- 无穷多值函数 在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且 例2 求 解 例3 求 解 例4 求 解 所以 的三个值分别为 例5 解下列方程： [解] 4. 三角函数 定义4 设 为任一复变量，称 与分别为复变量 的正弦函数与余弦函数，分别记为与，即 正弦函数与余弦函数的性质： （1）与都是以 为周期的周期函数，即 （2）为奇函数，为偶函数，即对任意的 有 （3）实变函数中的三角恒等式，在复变函数中依然成立，如 因为 可见，当无限增大时，趋于无穷大， 同理可知，也是无界的. （5），在复平面内均为解析函数，且 其它四个三角函数，利用和来定义： （4）和都是无界的. 例6 求 解 根据定义，有 5.反三角函数 定义5 如果则称 分别为 的反正弦、反余弦、反正切函数，分别记为 反三角函数与对数函数之间的关系： （1） （2） （3） 6.双曲函数 定义： （1）全平面解析函数： （2）以2pi为基本周期的周期函数： （3）chz为偶函数, shz为奇函数。 （4）与三角函数的关系： 第二章 解析函数 2.1解析函数的概念 2.2解析函数和调和函数的关系 2.3初等解析函数 §2.1 解析函数的概念 1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念 定义： 存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的 导数，记作 应该注意：上述定义中的方式是任意的。 如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导. 一. 复变函数的导数 例1 问 f (z) = x +2yi 是否可导? [解] 这里 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在. （即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.） 例2 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。 证明 例3 讨论 的可导性。 解： 所以 在复平面上除原点外处处不可导。 例4 求 f (z) = z2 的导数。 [解] 因为 所以 f (z) = 2z . （即f (z) = z2 在复平面处处可导。） 可导与连续的关系 若函数在点 处可导，则在点 处必连续. 证　因为知，故在点 处连续. 复变函数的微分 定义2 称函数的改变量的线性部分为函数在点 处的微分，记作， 亦即 由此可知，函数 在点 处可导与可微是等价的.可导可微 ； 可导连续。 (2)求导公式与法则 ① 复常数的导数 c?=(a+ib)?=0. ② (zn)?=nzn-1 (n是自然数). ----实函数中求导法则的推广 ③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则[f (z)±g (z)]? =f? (z)±g?(z)，[f (z)g(z)]? = f? (z)g(z) + f (z)g?(z) ④复合函数的导数 ( f [g(z)])? =f? (w)g?(z)，其中w=g(z)。 ⑤ 反函数的导数，其中: w=f (z) 与z=?(w)互为单值的反函数，且??(w)?0。 例5 解 例6 求下列函数的导数. （1）（2） 解 （1） （2） 例7 设. 解 因为 所以 函数在一点解析 在该点可导。 反之不一定成立。 在区域内： 例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析； 仅在原点可导，故在整个复平面上不解析； f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。 定义 否则称为奇点 。 如果函数不仅在点处可导，而且在点的某邻域内的 每一点都可导，则称在点 处解析，并称点 是函数的解