《电磁场与电磁波基础》刘岚课后习题解答(第五章).doc

习题及参考答案 5.1 一个点电荷 Q与无穷大导体平面相距为d，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？ 解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q，位于和原电荷对称的位置。当电荷Q离导体板的距离为x时，电荷Q受到的静电力为 静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力 在移动过程中，外力f所作的功为 当用外力将电荷Q移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为。 也可以用静电能计算。在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能： 移动点电荷Q到无穷远处以后，系统的静电能为零。因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为。 5．2 一个点电荷放在直角导体内部（如图5-1），求出所有镜像电荷的位置和大小。 解：需要加三个镜像电荷代替 导体面上的感应电荷。在（-a，d） 处，镜像电荷为-q，在（错误！链接无效。）处， 镜像电荷为q，在（a，-d）处，镜 像电荷为-q。 图5-1 5．3 证明：一个点电荷q和一个带有电 荷Q、半径为R的导体球之间的作用力为 其中D是q到球心的距离（D＞R）。 证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电Q，必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。在距离球心b=R2/D处，镜像电荷为q＇= -Rq/D；在球心处，镜像电荷为。点电荷q受导体球的作用力就等于球内两个镜像电荷对q的作用力，即 5．4 两个点电荷+Q和-Q位于一个半径为a的接地导体球的直径的延长线上，分别距离球心D和-D。 （1）证明：镜像电荷构成一电偶极子，位于球心，偶极矩为2a3Q/D2。 （2）令Q和D分别趋于无穷，同时保持Q/D2不变，计算球外的电场。 解：（1）使用导体球面的镜像法叠加原理分析。在球内应该加上两个镜像电荷：一个是Q在球面上的镜像电荷，q1 = -aQ/D，距离球心b=a2/D；第二个是-Q在球面上的镜像电荷，q2 = aQ/D，距离球心b1=-a2/D。当距离较大时，镜像电荷间的距离很小，等效为一个电偶极子，电偶极矩为 （2）球外任意点的电场等于四个点电荷产生的电场的叠加。设+Q和-Q位于坐标z轴上，当Q和D分别趋于无穷，同时保持Q/D2不变时，由+Q和-Q在空间产生的电场相当于均匀平板电容器的电场，是一个均匀场。均匀场的大小为，方向在-ez。由镜像电荷产生的电场可以由电偶极子的公式计算： 5．5 接地无限大导体平板上有一个半径为a的半球形突起，在点（0，0，d）处有一个点电荷q（如图5-5），求导体上方的电位。 解：计算导体上方的电位时，要保持 导体平板部分和半球部分的电位都为 零。先找平面导体的镜像电荷q1 = -q， 位于（0，0，-d）处。再找球面镜像 电荷q2 = -aq/d，位于（0，0，b）处， b= a2/d。当叠加这两个镜像电荷和原电 荷共同产生的电位时，在导体平面上和 图5-5 球面上都不为零，应当在球内再加上一个镜像电荷q 3 =aq/d，位于（0，0，-b）处。这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零。而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。 导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即 其中 求截面为矩形的无限长区域（0xa，0yb）的电位，其 四壁的电位为 解：由边界条件知，方程的基本解在y方向应该为周期函数，且仅仅取正弦函数，即 在x方向，考虑到是有限区域，选取双曲正弦和双曲余弦函数，使用边界条件，得出仅仅选取双曲正弦函数，即 将基本解进行线性组合，得 待定常数由x=a处的边界条件确定，即 使用正弦函数的正交归一性质，有 化简以后得 = 求出系数，代入电位表达式，得 5．7一个截面如图5-7所示的长槽，向y方向无限延伸，两则的电位是零，槽内y→∞，φ→0，底部的电位为 求槽内的电位。 解：由于在x=0和x=a两个边界的 电位为零，故在x方向选取周期解， 且仅仅取正弦函数，即 图5-7 在y方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在y→∞时，电位趋于零，所以选取由基