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三、质点系相对于质心的动量矩定理 1.对质心的动量矩 有 由于 得 其中 即:无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于 质心的动量矩其结果相同. 对任一点O的动量矩: 2 相对质心的动量矩定理 由于 即 质点系相对于质心的动量矩定理: 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的外力对质心的主矩. 得 或 四、动量矩守恒定律 若 , 若 , 则 常量。 则 常矢量; 质点系动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩,只有外力才能改变质点系的动量矩。 解: 取整个系统为研究对象, 受力分析如图示。 运动分析: v =r? 由动量矩定理: [例6] 已知: 解: 系统的动量矩守恒。 猴A与猴B向上的绝对速度是一样的, 均为 。 [例7] 已知:猴子A重 = 猴子B重,猴B以相对绳速度 上爬,猴A不动,问当猴B向上爬时,猴A将如何动? 动的速度多大?(轮重不计) §10-4 刚体定轴转动微分方程 对于一个定轴转动刚体 代入质点系动量矩定理,有 即: 或 或 转动 微分 方程 特殊情况: ? 若 ,则 恒量,刚体作匀速转动或保持静止。 ? 若 常量,则? = 常量,刚体作匀变速转动。 将 与 比较,刚体的转动惯量 是刚体转动惯性的度量。 解决两类问题: ?已知作用在刚体的外力矩,求刚体的转动规律。 ?已知刚体的转动规律,求作用于刚体的外力(矩)。 但不能求出轴承处的约束反力,需用质心运动定理求解。 例8: 已知: ,求 . 解: 求微小摆动的周期 . 例9 : 物理摆(复摆),已知 , 解: 微小摆动时, 即: 通解为 称角振幅, 称初相位,由初始条件确定. 周期 求:制动所需时间 . 例10: 已知: ,动滑动摩擦系数 , 解: [例11] 提升装置中,轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重 量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求 物体C上升的加速度。 取轮B连同物体C为研究对象 解: 取轮A为研究对象 补充运动学条件 化简(1) 得: 化简(2) 得: 【例12】均质直杆AB和OD,长度都是l,质量均为m,垂直地固接成丁字形,且D为AB的中点,如图所示。此丁字杆可绕过点O的固定轴转动,开始时OD段静止于水平位置。求杆转过 角时的角速度和角加速度。 解:选丁字杆为研究对象,进行受力分析。如图所示。应用刚体定轴转动微分方程,有 由平行移轴定理,有 质心C到转轴O的距离为OC=3l/4。故有 将以上两式代入刚体定轴转动微分方程得 解得杆的角加速度为 1 转动惯量 4 质点系的动量矩定理 第十章 动量矩定理 2 质点系的动量矩 3 刚体定轴转动微分方程 5 刚体平面运动微分方程 质点 质点系 动量定理: 动量的改变—?外力(外力系主矢) 若当质心为固定轴上一点时,vC=0,则其动量恒等于零, 质心无运动,可是质点系却受外力的作用。动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点(固定轴)的动量矩的改变与外力对同一点(轴)之矩两者之间的关系。 质心运动定理:质心的运动变化—?外力(外力系主矢) §10-1 刚体对轴的转动惯量 一.定义: 刚体对坐标轴的转动惯量 若刚体的质量是连续分布,则 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量,它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值,国际单位制中单位 kg·m2 。 二.转动惯量的计算 1. 简单形状物体的转动惯量计算 (1)均质细直杆对一端的转动惯量 由 ,得 (2)均质薄圆环对中心轴的转动惯量 (3)均质圆板对中心轴的转动惯量 式中: 或 2. 回转半径 由 所定义的长度 称为刚体对 z 轴的回转半径。 对于均质刚体, 仅与几何形状有关,与密度无关。对于几何形状相同而材料不同(密度不同)的均质刚体,其回转半径是相同的。 在机械工程设计手册中,可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的 ,以供参考。 3. 平行移轴定理
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