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从弧度制的引入和对数的发明谈起 　　半个多世纪以前，著名数学家柯朗（R.Courant）在名著《数学是什么》的序言中写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师、学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。” 　　和所有文化现象一样，数学文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数学文化，一方面拒人于千里之外，使人望数学而生畏；另一方面又孤芳自赏、自言自语，令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学，原本是青少年喜爱的学科，却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。优秀的数学文化，会是美丽动人的数学王后、得心应手的仆人、聪明伶俐的宠物。伴随着先进的数学文化，数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。 　　下面从弧度制的引入和对数的发明方面谈谈数学发展的相关历程，期待学生能从中体验到数学文化和数学思维的魅力。 　　一、弧度制的引入 　　阿耶波多（Aryabhata Ⅰ，476―550年）是现在知道的印度最早的数学家和天文学家，1976年，为纪念阿耶波多诞生1500周年，印度发射了以阿耶波多命名的第一颗人造卫星。他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》（499）传世。该书突出的地方在于对希腊三角学的改进。 　　改进主要有： 　　①把半弦与全弦所对弧的一半相对应（如图1），成为今天的习惯。 　　②引入了弧度制 　　阿耶波多将圆周分为360度，又采用60进制将1度分为60分，这样将整个圆周分为21600分。再由2πr=21600，可得半径r=3437.747（取圆周率π≈3.1416），定义取整定半径为r=3438分，这样就统一了半径和圆弧之间的单位。原来托勒玫（古希腊）三角学中有两套单位。30度弧对应的弦值是30个半径单位（半径长的1/60为一个单位），30度是圆弧的单位。1度是圆周之后，3°45′=225分，因而引入了弧度制。 　　现代弧度制是欧拉在《无穷小分析引论》（1748）中倡导的，他是以半径为单位1来当统一单位，这样圆周为2π单位。 　　③他还给出了第一象限内间隔3°45′（即 ）的正弦差值表。如sin30°=1719，sin45°=2431等。 　　弧度制的精髓就在于统一了度量弧（后来的角）与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算。 　　二、对数的发明 　　9710.3265÷2.1829=？ 　　没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛，更阻碍计算者了。这不仅浪费时间，而且容易出错。因此，我开始考虑怎样消除这种障碍，经过长时间的思索，我终于找到了一种漂亮的简短法则……――《奇妙的对数定理说明书》 　　1614年，苏格兰的贵族数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）出版了《奇妙的对数定理说明书》小册子，给出了一种新的计算乘法的方法，即对数方法：如若计算y1，y2，先把y1，y2写成y1=a ，y2=a 的形式，其中a=107，e为自然对数的底，再求x1+x2，然后计算a2 即可。 　　书中借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。如图2，假定两点P，Q以相同的初速度运动。点Q沿直线CD作匀速运动，CQ=x；点P沿直线AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB=y）。令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的对数。后人称为纳皮尔对数：Naplog。利用对数，纳皮尔制作了0°～90°每隔1′的正弦的对数。 　　纳皮尔对数方法公布之后，引起了很多人的兴趣，认为此方法可以很好地解决大数乘法问题，因而传播开来。 　　没过多久，英国数学家布里格斯（H.Briggs 1561―1631年）与纳皮尔合作，又将纳皮尔方法中的自然常数e改成了10，这样就更方便了，因而产生了我们今天的常用对数。 　　常用对数是如此好用，以至于不久就被广泛用到了当时的天文学中，后来拉普拉斯曾说：“对数的发明以其节省劳动力而延长了天文学家的寿命。”阿拉伯数字、十进制和对数被称作数学计算方面的三大发明。 　　注：本文系淄博市市级课题高中数学“基于数学文化的高中新授课教学研究与实验”课题研讨会专题发言稿。 　　作者简介：常永兴，男，中学一级教师，学士学位，淄川区优质课一等奖，淄川区教学能手，中学数学教学参考编辑部第十届“解题教学高级研讨班”学员，现参与市级课题高中数学“基于数学文化的高中新授课教学研究与实验”。 　　？?S编辑 温雪莲 4