量子力学chapter2-薛定谔方程.ppt

量子力学 波恩Max Born (1882-1970) 讨论： 表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。 （1） 这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。 （2） 以μ乘连续性方程等号两边，得到： 量子力学的质量守恒定律 同理可得量子力学的电荷守恒定律： 质量密度 和 质量流密度矢量 电荷密度 和 电流密度矢量 表明电荷总量不随时间改变 再论波函数的性质 1. 由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即 dω(r,t) = |ψ(r,t)|2dτ 2. 已知 ψ(r,t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。 3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。 （1）波函数完全描述粒子的状态 式右含有ψ及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域τ是任意选取的，所以S是任意闭合面。要是积分有意义，ψ必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。 概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。 2.根据粒子数守恒定律 : （2）波函数标准条件 1. 根据Born统计解释 ω(r,t) = ψ*(r,t)ψ(r,t)是粒子在t时刻出现在 r点的概率，这是一个确定的数，所以要求ψ(r, t)应是 r, t的单值函数且有限。 §5 定态Schrodinger方程 （一）定态Schrodinger方程 现在让我们讨论 有外场情况下的定态 Schrodinger 方程： 令： 于是： V(r)与t无关时，可以分离变量 代入 等式两边是相互无关的物理量，故应等于与 t, r 无关的常数 （一）定态Schrodinger方程 该方程称为定态 Schrodinger 方程，Ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻Ψ (r,0)的定态波函数。 E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。 空间波函数Ψ (r)可由方程 和具体问题Ψ (r)应满足的边界条件得出。 边界条件的讨论: V连续,波函数及其一阶导数连续 V不连续,波函数及其一阶导数连续 V趋向无穷大 (一阶)波函数连续,一阶导数不连续 V趋向无穷大(二阶及以上)波函数不连续,一阶导数亦不连续 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （1）Hamilton 算符 二方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ(r, t)等于EΨ(r, t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。 是相当的。这两个算符都称为能量算符。 也可看出，作用于任一波函数Ψ上的二算符 再由 Schrodinger 方程： （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （2）能量本征值方程 （1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题； （2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。 （3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。 将 改写成 （三）求解定态问题的步骤 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下： （1）列出定态 Schrodinger方程 （2）求解能量 E 的本征值问题，得： （3）写出定态波函数即得到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数 （4）通过归一化确定归一化系数 Cn * * 薛定谔ERWIN SCHRODINGER (1887-1961) 第二章 波函数和 Schrodinger 方程 第二章 波函数和 Schrodinger 方程 第二章 波函数和 Schrodinger 方程 §1 波函数的统计解释 §2 态叠加原理 §3 Schrodinger 方程 §4 概率流密度和概率数守恒定律 §5 定态Schrodinger方程 §1 波函数的统计解释 描写