微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版).doc

专题30 圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 1．已知双曲线(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 2． P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为7 3．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 4．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 . 5．已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W. （Ⅰ）求W的方程； （Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支， 所求方程为： （x(0） （Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0， 此时A（x0，），B（x0，－），＝2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b， 代入双曲线方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0 依题意可知方程1(有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则 解得|k|(1， 又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b） ＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝(2 综上可知的最小值为2 【典型示例】 求抛物线上的点到直线距离的最小值? 分析一：设抛物线上任一点坐标为P(,-)， 由点到直线的距离公式得P到直线的距离d()==， 当=时，d()取得最大值, 分析二：设抛物线上点P(,-)到直线4x+3y-8=0距离最小， 则过P且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行， 故y( )=-2 =-,∴=,∴P(,-), 此时d==，. 分析三：设直线方程为4x+3y+C=0 则当l与抛物线相切时l与4x+3y-8=0间的距离为所求最小， 由得4x-3x+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-,此时 d=【分类解析】 例1:已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；（2）求的最小值和最大值 分析：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q， 则由椭圆的第二定义， ∴， 显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。 （2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点， 则∴， 根据三角形中两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。 当P到P位置时，，有最大值，最大值为；当P到位置时，，有最小值，最小值为. （数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合） 变式: 点A（3，2）为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF| 取得最小值，求点P的坐标。 解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1， 设P到准线的距离为d，则|PA|+|PF|=|PA|+d。 要使|PA|+|PF|取得最小值