微分中值定理及其应用31.doc

微分中值定理及其应用 陈 锋 （吉首大学数学与统计学院， 湖南 吉首 416000） 摘 要：微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数的桥梁.本文以例题形式综合、总结了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解. 关键词：微分中值定理；拉格朗日中值定理；泰勒公式. The Differential Mean-value Theorem and It Application Chen Feng (College of Mathematics and Statistical Institute, Jishou University,Jishou Hunan,416000) Abstract：The mid-value theorems is very important in mathematics analysis, it is the basic theorem communication function of the relationship between its derivative bridges. This paper introduced the case form mid-value theorem in the mathematical analysis, this paper discusses the application of mid-value theorem in the limit, proof inequality; and determine the existence of root from several aspects such as the application to deepen the understanding of differential mid-value theorem. Key Words: Differential mean value theorem in ；Lagrange；Taylor formula. 1 引言 导数是刻画函数在某一点变化率的数学模型，它所反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何种关系，微分中值定理正式对这一问题的理论诠释.微分中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系.微分中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型，是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具.其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广. 本文以例题形综合、总结了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解.其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性问题，是微分中值定理的重要应用，也是本文探讨的重点.充分理解并掌握微分中值定理的相关知识，能够利用微分中值定理解决实际应用问题. 2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关，因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理2.1[1](有界性定理) 若函数在闭区间上连续，则在 有界.即常数,使得有. 定理2.2[1] (最大值、最小值定理) 若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值. 定理2.3[1](介值定理) 设函数在闭区间上连续，且若为介于与之间的任意实数(或)，则至少存在一点使得. 3 相关的几个重要定理 定理3.1[2](费马定理) 设在的某领域内有定义,且在点可导，若为的极值点，则必有 定理3.2[2](罗尔定理) 若函数满足如下条件： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； （3）, 则在内至少存在一点,使得 定理3.3[2](拉格朗日中值定理) 若函数满足如下条件： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； 则在内至少存在一点,使得 定理3.4[2](柯西中值定理)设函数和满足： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； （3）和不同时为零； （4）, 则存在，使得 定理3.5[2](泰勒公式) 若在上有直到阶连续导数，在区间存在阶导数，则,有 4 微分中值定理的应用 4.1证明等式 例1 设函数在()上连续，在上可导，证明：存在使得. 证明：设，显然它在上与都满足柯西中值定理条件， 故存使 整理得 例2[3] 设在上有三阶导数，且，设，试证在内至少存在，使得 证明：由题设可知, 在上存在，又,由罗尔中