微分方程的积分因子求解法.doc

常微分方程的积分因子求解法 内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。 关键词： 全微分方程，积分因子。 一、 基本知识 定义1.1 对于形如（1.1） 的微分方程，如果方程的左端恰是，的一个可微函数的全微分，即= ，则称（1.1）为全微分方程.易知，上述全微分方程的通解为 =, （为任意常数）. 定理1.1 （全微分方程的判别法）设，在，平面上的单连通区域内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为（1.2） 证明见参考文献[1]. 定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数，使得方程（1.3） 是全微分方程，则称为微分方程（1.1）的积分因子.定理1.2 可微函数为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 -=（1.4） 证明：由定理1.1得，为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为， 展开即得： -=. 上式整理即得（1.4）.证毕注1.1 若，则（1.3）和（1.1）同解。所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子。 为了求解积分因子，必须求解方程（1.4）。一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当具有某种特殊形式时还是较易求解的。 二、特殊形式的积分因子的求法 情况1 当具有形式时，方程（1.4）化为 =， 即= 于是得到： 定理2.1 微分方程（1.1）具有形如的积分因子的充要条件为 只是的连续函数, 不含. 此时易得, . 类似地 定理2.2 微分方程（1.1）具有形如的积分因子的充要条件为 只是的连续函数, 不含. 并且, . 例2.1 求的通解.解: 因 =, 故 . 方程两边同乘以得 , 即, 故通解为=, 即，（为任意常数）. 情况2 如果(1.1)具有形如的积分因子, 令, 则 =. 由(1.4)得 =, 于是得到: 定理2.3 微分方程（1.1）具有形如的积分因子的充要条件为 只是的连续函数, 此时积分因子为 , (为任意非零常数). 例2.2 求 的积分因子. 解: 因 = 故方程具有形如的积分因子, 取得， =. 情况3 如果(1.1)具有形如的积分因子, 令, 则=. 由(1.4)得 =, 于是得到: 定理2.4 微分方程（1.1）具有形如的积分因子的充要条件为只是 的连续函数, 此时积分因子为 , (为任意非零常数). 例2.3 求的积分因子. 解: 因 =， 故方程具有形如的积分因子, 取得 =. 情况 4 一般地, 如果方程(1.1)具有形如的积分因子, 令, 则. 由(1.4)得 =, 于是得到 定理2.5 微分方程（1.1）具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数, 此时积分因子为 , (为任意非零常数). 类似地, 我们有 定理2.6 微分方程（1.1）具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数, 此时积分因子为 , (为任意非零常数). 例2.4 求 的积分因子. 解: 由 ，=,易知, 欲使上式仅是的函数, 只须等于常数即可. 为此, 令 , , 得 , . 此时 =-1. 取得.三、一般理论 定理 3.1 如果是微分方程(1.1)的积分因子, (1.1)乘以后得到(1.3). 设(1.3)的左端为, 则仍是(1.1)的积分因子. 其中, 是任何可微函数. 定理 3.2 在(1.1)中, 若和在长方形区域上连续,且在上处处不为零. 对于(1.1)的任何两个在上处处连续且恒不为零的积分因子, (从而, 在上不变号), 设 . 则在内任一点, 可定出一邻域, 在此邻域内, 只是的函数. 上述两定理的证明可参见参考文献[3]. 注 3.1 由定理3.1和定理3.2 即知, 设是(1.1)的积分因子, (1.3)的左端为, 则(1.1)的积分因子通式为. 其中, 是任何可微函数. 例3.1 求 的积分因子及通解. 解: 重新组合: , 对于前一个括号内可求得一个积分因子, 乘之得 . 故前一个括号内可取积分因子通式为. 同样可得后一个括号内的积分因子通式为. 下面求出, , 使得=. 设 , , 即有 =, 于是得 , 解得, . 从而即得原微分方程的一个积分因子为, 用乘以方程的两边可求得通积分为 , (为任意常数).1 1