微积分 第2章 极限与连续.ppt

例2 比较 x→0 时下列各无穷小量的阶： 1) sinx 与 x, tanx 与 x； 2)与 x； 4) 1-cos x 与 x2/2； 3)与 x (x→0+) ； ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1+x) ~ e x -1 x ~ sin x ~ tan x 1-cos x ~ x2/2； x→0 时常用等价无穷小量 等价 同阶 等价 要记 四、无穷小量等价代换 注: 1. 极限式的分子/分母如果为若干因子的乘积, 则对任意一个或几个无穷小因子做等价无穷小代换, 不改变极限值． 1) 若存在，则 定理 设 f(x), g(x) 是 x→X 时的等价无穷小量， 2) 若存在，则 2. 等价无穷小量代换 应用于加减运算 有 条件限制. 例3 用等价无穷小量代换完成下列各题： 1) 4) 2) 3) 求 (注意: 分子不可换为x-x) §2.4 连续函数 一、连续函数的概念 二、函数的间断点 三、连续函数的运算法则 四、利用函数连续性求函数极限 五、闭区间上连续函数的性质 一、连续函数的概念 定义 设函数 f 在某U(x0)内有定义. 则称 f 在点 x0 连续 . 若 注： 2. 连续意味着 “极限运算与f 可换”. 1. 连续的几何意义. 例： x 在 R 上处处连续 ; 在 x = 0连续 其中△x = x-x0 与△y = f(x)-f(x0) 为自变量/函数的增量. f 在 x0 连续 3. 等价定义： 定义 设函数 f 在某U＋(x0)内有定义. 则称 f 在点 x0 右连续 . 若 (U-(x0) ) (左) f 在点x0 连续 f 在点 x0 左连续且右连续. 定理 讨论函数在点 x = 0 的连续性. 例1. 若称 f 在 [a, b) 上连续，则端点 a 处实际只要求右连续， 定义 若 f 在 I 上的每一点都连续, 则称 f 为 I 上的连续函数. 注: 对于区间 [a, b] 或 (a, b], 情况类似. y = sinx 在 R 上连续. 例：在 [0, +∞) 上连续； 二、函数的间断点 间 断 点 分 类 定义 设函数 f 在某Uo(x0)内有定义. 则称点 x0 为 f 的间断点或不连续点. 若 f 在点 x0 不连续， 可去型 跳跃型 无穷型 振荡型 第一类 (左右极限均存在) 第二类 (其他情况) 会分类 例2 求下列函数的间断点，并判断其类型： 三、连续函数的运算法则 若函数 f 和 g 在点x0连续，则 f±g，f·g， f/g 四则运算 (对除法要求g(x0)≠0) 也都在x0连续. 复合运算* 若 y=f(u), u=g(x) 都连续, 则 y = f[g(x)] 亦连续. 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数. 定理 任何初等函数都是其定义区间上的连续函数. 强调“区间 ”旨在排除定义域中可能有的孤立点， 注: 例如，是初等函数，但在其定义域为单点 0 . 了解 四、利用函数连续性求函数极限 例3 求下列极限： 法一: 若 f 在 x0 连续, 则 法二: 复合函数求极限， 外层极限符号可依次与 连续函数则交换次序. 五、闭区间上连续函数的性质 最值定理* 若 f 在[a, b]上连续, 则 f 在[a, b]上有最大、最小值. 有界性定理 若 f 在[a, b]上连续, 则 f 在[a, b]上有界. 介值定理 最小值之间的任何实数，则至少存在一点 x0∈(a, b)，使得 f(x0) = μ . 若 f 在[a, b]上连续，若 μ 是介于f 在[a, b]上最大、 M m y = f(x) 了解 例4 证明方程 x3 - 4x2 + 1=0 在 (0,1) 内至少有一个根. 根的存在定理 若 f 在[a, b]上连续， 且f(a), f(b)异号，则至少存在 f(x0) = 0 . 一点 x0∈(a, b), 使得 1. 图像观察 函数极限的计算方法 2. 按定义验证 3. 四则运算（拆分后各部分极限应存在） 4. 夹逼准则 5. 两个重要极限及其应用 6. 无穷小、无穷大的性质 7. 无穷小等价代换 8. f 在连续点 x0 处的极限为 f(x0) 9. 多重复合函数，遇连续函数，极限符号可向内移位 10. 变量替换 1. 幂指函数 几种特殊函数的极限计算 2. 分段函数（求单侧极限） 3. 有理函数 遗留的问题 1) 单点极限，能代入单点的直接求单点函数值 2) ∞型极限，分子分母同除以最大方幂 0/0型、∞/∞型、 ∞－∞型函数极限 第二章 极限与连续 第二章 极限与连续 * 第二章 极限与连续 § 2.1 数列的极限 § 2.2 函数的极限 §