第二章控制系统的数学模型 2..ppt

21 第二章 控制系统的数学模型 数学模型：描述控制系统输入变量、输出变量和内部变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。描述控制系统动态特性的数学模型，称为动态模型。在静态条件下(即变量的各阶导数为零)，描述变量之间关系的代数方程称为静态模型。 第二章 控制系统的数学模型 2.1 传递函数 2.2 闭环控制系统的动态结构图 2.3 动态结构图的等效变换 2.4 反馈控制系统的传递函数 2.5 典型环节的传递函数 2.6 信号流图与梅逊公式 2.1 传递函数 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。 一、传递函数 　　传递函数:线性定常系统的传递函数，定义为在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和是与系统结构和参数有关的常系数。 二、传递函数的特点 三、传递函数的求法 1、根据系统的微分方程求传递函数 2、用复阻抗概念求电路的传递函数 3、非线性微分方程的线性化 例 流体运动系统 四、常见元部件的传递函数 2、测速发电机： 3、机械转动系统： 4、齿轮系： 5、电枢控制的他激直流电动机： 6、两相伺服电动机： 7、直流发电机 * * 常用数学模型：常用解析形式的动态模型有微分方程、差分方程、传递函数；常用图形形式的动态模型有动态结构图、信号流图、频率特性。 建立数学模型的目的：用于分析控制系统的性能和设计满足要求性能的控制系统。不同的分析设计方法常采用不同的数学模型，同一系统可用不同的数学模型表示。 传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 于是，由定义得系统传递函数为： 　　设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0时的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为： G(s) R(s) C(s) (动态)方框图： M(s) – 分子多项式 N(s) – 分母多项式，又称特征多项式，它决定着系统响应的基本特点和动态本质。 (零极点形式、首一多项式形式、伊万思形式) (时间常数形式、尾一多项式形式、伯德形式) zi – 传递函数的零点，即M(s)=0的根。 pj – 传递函数的极点，即特征方程N(s)=0的根，又称特征根。 传递函数的阶：特征多项式的阶次n即为传递函数的阶次，对应的系统为n阶系统。 静态放大系数(静态增益)：输出量与输入量静态值之比。 根轨迹增益：传递函数由系统的结构和参数确定，与输入信号的形式与大小无关。传递函数是复变量s的有理真分式函数，所有的系数均为实常数，且m≤n。 性质1： 性质2：如果传递函数已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。 性质3： 传递函数与微分方程之间可以互相转换。 性质4： 传递函数的拉氏变换是系统的单位脉冲响应。 性质5： 传递函数的局限性：传递函数只适用于描述线性定常单输入、单输出系统，只直接反映系统在零状态下的动态特性。 求系统传递函数的几个步骤： 选定系统或元件的输入量、输出量。 列写原始方程。利用适当的物理定律、化学定律或其它学科的公式和定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）。 在零初始条件下进行拉氏变换，消去中间变量，得到传递函数。 　　解： 根据克希霍夫定律，列写出方程 　　例2-1 试求图2-3所示RLC网络的传递函数。输入量为ur(t)，输出量为uc (t) 。 在零初始条件下将以上两式进行拉氏变换后，得 消去中间变量I(s)后得 则求得传递函数 ur uc ＋ － ＋ － 图2-3 RLC网络 R L C i F(t) y(t) m k f 图2-4 机械平移系统 m – 质量块的质量 f – 阻尼器的阻尼系数 k – 弹簧的弹性系数 F(t) – 外力 y(t) –质量块的位移 　　例2-2 设有一质量-弹簧-阻尼器的机械平移系统，如图2-4所示。外力F(t) 为输入量， 质量块的位移y(t) 为输出量，试求系统的传递函数G(s)。 解：弹簧的恢复力 阻尼器的阻力 根据牛顿第二定律，得到 传递函数 RLC网络 机械平移系统 令 ， 则 令 ， ， 则 T – 时间常数， ζ – 阻尼比， Ｋ – (静态)放大系数或增益。 (3) 模拟技术：有了相似系统的概念，可以利用对一种系统的研究来代替对另一种系统的研究，这就是所谓的模拟技术。特别是用电子模拟装置模拟机械系统及其它物理系统。 讨论：(1) 两个完全不同的系统可能具有相同