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第二章 控制系统的数学模型 2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复域数学模型 2.3 控制系统的结构图和信号流程图 数学模型的一般概念 1、定义人们常将描述系统工作状态的各物理量随时间变化的规律用数学表达式或图形表示出来，这种描述系统各个物理量之间关系的数学表达式或图形称为系统的数学模型。 2、建模方法通常有两种方法：机理分析法和实验辨识法。机理分析法是通过理论推导得出，这种方法是根据各环节所遵循的物理规律来编写；实验辨识法是由实验求取，即根据实验数据通过整理编写出来。本章着重讨论机理分析法。 2.1.1线性定常系统微分方程的建立目的：通过该方程确定被控量与给定量及扰动量之 间的函数关系。 2.1.2微分方程的求解 1、方法步骤 （1）考虑初始条件，对微分方程两端进行拉氏变换； （2）求出输出量的拉氏变换表达式； （3）求输出量的拉氏反变换，得到输出量的时域解. 具体见课本例2-6 2、解的组成 由特解和通解组成. 通解决定于方程的特征根，特解决定于输入量. 2.2.1、传递函数的概念和性质 1、传递函数的定义：线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变 换之比。线性定常系统微分方程的一般表达式:其中为系统输出量， 为系统输入量在初始情况为零时，两端取拉氏变换： 移项后得： 上式中Xc(s)输出量的拉氏变换；Xr(s)输入量的 拉氏变换； W(s) 为系统或环节的传递系数。 2、传递函数的两种表达形式a.传递函数的零极点表示形式b.传递函数的时间常数表示形式 3、传递函数的性质 a.传递函数的概念只适应于线性定常系统。 b.传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量变化无关。 c.传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。 d.传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。 2.3(1) 控制系统的结构图动态结构图是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示了系统的输入输出之间的关系。 2.3.1结构图的组成于绘制 1、结构图的组成 1、环节的合并法则一 环节串联，传递函数相乘。 2、信号相加点及分支点的移动（原则: 换位前后的输入/输出信号间关系不变） 法则六 分支点从环节输入端移到输出端法则七 分支点从环节输出端移到输入端2.3.3闭环传递函数 3、误差传递函数：误差信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。 （1）给定输入单独作用下的闭环系统 （2）扰动输入单独作用下的闭环系统 2.3(2) 控制系统的信号流图 * * 2.1 控制系统的时域数学模型 方法与步骤: （1）根据实际情况，确定系统的输入、输出变量。 （2）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规节列出元件微分方程。 （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。 （4）整理，输入量项=输出量项。 例1 编写RC 电路微分方程 （1）确定输入、输出量为ui 、u0 （2）根据电路原理列微分方程 （3）消去中间变量，可得电路微分方程 2.1.3非线性系统的线性化 1、对于单变量函数，将非线性函数y= f（x），在其工作点展开成泰勒(Taylor)级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。 忽略二阶以上各项，可写成 利用小偏差线性化的数学处理: 静态工作点附近的泰勒(Taylor)级数展开 2、对于具有两个自变量的非线性函数，设输入 量为x1(t)和x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作点为y0＝ f(x10, x20) 。在工作点附近展开泰勒(Taylor)级数得 忽略二阶以上各项，可写成 2.2 控制系统的复域数学模型 例1 RC电路 （1）当u1为输入，u2为输出时： 例2 RLC电路 取ur为输入，uc为输出,系统微分方程为： 零初始条件下，对上式进行拉氏变换得： 2.2.2典型环节的传递函数 1、比例环节（放大环节/无惯性环节） 特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系。 典型电路 2、积分环节 特点：输出量随时间成正比地无限增加 3、微分环节 特点：是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趋势，实践中，理想的微分环节难以实现。 4、惯性环节 特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变 化，存在时间上的延迟。 5、一阶微分环节 6、振荡环节 特点：振荡的程度与阻尼系数有关。 7、二阶微分环节 式中： ——自然振荡角频率 —— 阻尼比 G(S) H(S) Xf(S) E(S) Xr(S) XC(S) - a信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 b引出点（分离点）：表示信号引出或测量的位置。 c比较点（相加点）：对两个以上信号加减运算。 d方