第十二章随机过程及其统计描述概率论与数理统计演示.ppt

* 由于T1=W1, 所以T1服从指数分布. 对于i?2, 也可以证明, Ti也服从同样的指数分布, 即 且T1,T2,...,Ti,...是相互独立的随机变量. 即有 定理一 强度为l的泊松流(泊松过程)的点间间距是相互独立的随机变量, 且服从同一个指数分布. * 定理二 如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立, 且服从同一个指数分布, 则质点流构成了强度为l的泊松过程.这两个定理刻画出了泊松过程的特征. 定理二说明, 为要确定一个计数过程是不是泊松过程, 只要用统计方法检验点间间距是否独立, 且服从同一个指数分布.泊松过程或泊松流是研究排队理论的工具, 在技术领域内它又是构造(模似)一类重要噪声(散粒噪声)的基础. * (二)维纳过程 维纳过程是布朗运动的数学模型. 英国植物学家布朗在显微镜下, 观察漂浮在平静的液面上的微小粒子, 发现它们不断地进行着杂乱无章的运动, 这种现象后来称为布朗运动. 以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t0的位移的横坐标(同样也可以讨论纵坐标), 且设W(0)=0, 根据爱因斯坦1905年提出的理论, 微粒的这种运动是由于受到大量随机的相互独立的分子的碰撞的结果. 于是, 粒子在时段(s,t]上的位移可以看作是许多微小位移的代数和. 则W(t)-W(s)服从正态分布. * 其次, 由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则碰撞而引起的. 这样, 在不相重叠的时间间隔内, 碰撞的次数, 大小和方向可假定是相互独立的, 这就是说W(t)具有独立的增量. 另外, 液面处于平衡状态, 这时粒子在一时段上位移的概率分布可以认为只依赖于这时段的长度, 而与观察的起始时刻无关, 即W(t)具有平稳增量. * 给定二阶矩过程{W(t), t?0}, 如果它满足1o具有独立增量;2o对任意的ts?0, 增量 W(t)-W(s)~N(0,s2(t-s)), 且s0;3oW(0)=0,则称此过程为维纳过程. W(t) O t * 维纳过程增量的分布只与时间差有关, 所以它是齐次的独立增量过程. 它也是正态过程. 事实上, 对任意n(n?1)个时刻0t1t2...tn(记t0=0), 把W(tk)写成 它们都是独立的正态随机变量的和, 因此(W(t1), W(t2), ..., W(tn))是n维正态变量, 即(W(t), t?0}是正态过程. 因此, 其分布完全由它的均值函数与自协方差函数所确定. * 根据条件2o,3o可知W(t)~N(0,s2t), 由此可得维纳过程的均值与方差函数分别为 E[W(t)]=0, DW(t)=s2t,其中s2称为维纳过程的参数, 它可通过实验观察值加以估计, 再根据(3.1)就可求得自协方差函数(自相关函数)为 CW(s,t)=RW(s,t)=s2min(s,t), s,t0.维纳过程不只是布朗运动的数学模型, 电子元件在恒温下的热噪声也可归结为维纳过程. * 而自相关函数 式中t=t2-t1. 特别, 令t1=t2=t, 即得方差函数为 * 例3 设X(t)=Acoswt+Bsinwt, t?T=(-?, +?), 其中A,B是相互独立, 且都服从正态分布N(0,s2)的随机变量, w是实常数. 试证明X(t)是正态过程, 并求它的均值函数和自相关函数.解 由题设A,B是相互独立的正态变量, 所以(A,B)是二维正态变量, 对任意一组实数t1,t2,...,tn?T, X(ti)=Acoswti+Bsinwti, i=1,2,...,n都是A,B的线性组合, 而正态变量的任何线性组合仍然是正态变量, 因此X(t1),X(t2),...,X(tn)是n维正态变量, 因为n, ti是任意的, 因此X(t)是正态过程. * 另因E(A)=E(B)=E(AB)=0, E(A2)=E(B2)=s2,由此可算得X(t)的均值函数和自协方差函数(自相关函数)分别为: mX(t)=E(Acoswt+Bsinwt)=0,CX(t1,t2)=RX(t1,t2) =E[(Acoswt1+Bsinwt1)(Acoswt2+Bsinwt2)] =s2(coswt1coswt2+sinwt1sinwt2) =s2cosw(t2-t1). * (三)二维随机过程的分布函数和数字特征 实际问题中, 有时必须同时研究两个或以上随机过程及它们之间的统计联系. 例如, 某地在时段(0,t]内的最高温度X(t)和最低温度Y(t)都是随机过程, 需要研究它们的统计联系. 又如, 输入到一个系统的信号和噪声可以都是随机过程, 这时输出也是随机过程. 需要研究输出与输入之间的统计联系等. 对这类问题, 除了对各个随机过程的统计特性加以研究外, 还必须将