中科院计算流体力学必威体育精装版讲义CFD2011第9讲求代数方程组及网格生成.ppt

Copyright by Li Xinliang Copyright by Li Xinliang 计算流体力学讲义 第九讲 代数方程的求解及网格生成 李新亮 lixl@ ；力学所主楼219； 知识点： * 讲义、课件上传至 (流体中文网） - “流体论坛” -“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 /browse.aspx/.Public Copyright by Li Xinliang 代数方程组的求解 网格生成 Copyright by Li Xinliang * 知识回顾： 有限体积法基本流程 无粘项常用方法 （流过AB边的通量）： a. 利用周围点的值，计算出(I+1/2,J) 点处的物理量； 直接利用“差分格式” b. 利用该处的物理量，计算出流过AB边的流通量 迎风型方法需利用“通量分裂技术” FVS类： FDS类： 利用Riemann解 Reimann解： Godunov, Roe, HLL, HLLC 利用坐标变换，转化为一维Riemann问题 i,j i-1,j i+1,j i,j+1 i,j+1 知识回顾： 隐格式 代数方程组的求解 Copyright by Li Xinliang * 微分方程（组） 代数方程组 数值解（离散解） 差分 有限体积 大部分计算量 9.1.1 Gauss 消去法 消元 为了计算稳定，通常使用主元消去法 列主元消去法； 全主元消去法 计算量： 乘法： 加法： 9.1 代数方程组求解的直接法 优点： 简单精确，缺点：计算量大 上三角 矩阵 Copyright by Li Xinliang * 9.1.2 LU分解法 …… 0 0 Step 1 Step 2 Step k 对角线上不能有0， 计算之前先交换矩阵A的元素，将主值交换到对角线上 Copyright by Li Xinliang * 回代过程 计算量： 分解O(n3/3), 回代 O(n2) 优点： 1） 重复求解 ， …… 时，仅需一次LU分解，计算量小； 2） LU分解不破坏带状稀疏矩阵的性质，可大幅减小计算量。 L带宽的带状矩阵： LU 分解: O(nL) 回代： O(nL) Copyright by Li Xinliang * 9.1.3 带状矩阵求解的追赶法 追赶法：等价于带状矩阵的LU分解 例： 三对角矩阵 一般项： 边界项： 追赶法 令： Step 1: Step 2: Step 3: Step 4: 计算量： 9n次 （乘法） A为固定值时， 3n次（乘法） 简单易用，计算量小 Copyright by Li Xinliang * 9.2 代数方程组求解的迭代法 直接法 迭代法 优点 算法简便，准确（未知数少时） 计算量小，误差容易控制 缺点 计算量大O(n3) 舍入误差积累，不易控制 快速收敛的算法设计较为复杂 9.2.1 Jocabi 及Gauss-Seidel迭代 解出对角元素 Jocabi迭代 Gauss-Seidel迭代 “对角占优” Copyright by Li Xinliang * 9.2.2 松弛迭代——超松弛（SOR）、亚松弛 Step1: 采用Jocabian 或 Gauss-Seidel迭代产生新的值 Step 2: 进行松弛 含义： 改变步长 超松弛 精确解 “步子迈大一些”，加快收敛 亚松弛 “步子迈小一些”，稳定性好 收敛性： 对角占优矩阵，Jocabian及Gauss-Seidel迭代可收敛 Copyright by Li Xinliang * 举例： Laplace方程的求解 五点格式 Jacobi迭代 Gauss-Seidel迭代 缺点: 每迭代一步，信息只传递到周围网格点，n很大时收敛较慢 n+1 n n n n n+1 n n+1 n+1 Copyright by Li Xinliang * 对称Gauss-Seidel迭代 （SGS） n+1 n n+1 n+1 n+1 n n n n+1 n+1 Step 1 Step 2 特点： 两次扫描，反复迭代 Copyright by Li Xinliang * 9.2.3 交替方向迭代（ADI）方法 例： Step 1:认为 已知 （使用上一步的值）， 求解三对角方程,得到中间步的值 Step 2: 代入中间步的值，求解