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中考专题 相似三角形 相似三角形的判定和判定方法 　 　相似三角形的判定 　　1.两个三角形的两个角对应相等 　　2.两边对应成比例,且夹角相等 　　3.三边对应成比例 　　4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 　相似三角形的判定方法 　　根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应边的夹角相等） 　　1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似； 　（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明） 　2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似； 　3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似； 　　4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似； 　5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形（用定义证明） 　　绝对相似三角形 　　1.两个全等的三角形一定相似。 　　2.两个等腰直角三角形一定相似。（两个等腰三角形，如果顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。） 3.两个等边三角形一定相似。 　　直角三角形相似判定定理 　　1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 　　2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 　　射影定理 　　三角形相似的判定定理推论 　　推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 　　推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 　　推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 　　推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 　　推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 　　推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。 一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ ∽ 。 分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。 评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。 例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线， 求证：△ABC∽△BCD 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。 证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72° 又BD平分∠ABC，则∠DBC=36° 在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD 例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC 分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。 证明：在△CBE和△ABD中， ∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD ∴△CBE∽△ABD ∴= 即：= 在△DBE和△ABC中 ∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用 ∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC ∴∠DBE=∠ABC 且= ∴△DBE∽△ABC 例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。 分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形： 如图：称为“平行线型”的相似三角形 (2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。 (3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。 观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△EC