中考复习讲座11（等腰三角形和直角三角形）.ppt

等腰三角形和直角三角形 回民中学付灵强 * 等腰三角形和直角三角形 知识要点1: (1)掌握等腰三角形的两底角相等;底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质; (2)掌握等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法,能够灵活应用它们进行有关的论证和计算. 例1、如图,等腰△ABC两腰上的中线BD、CE交于O点,求证:△BOC和△EOD都是等腰三角形。 证明：∵AB=AC,且BD、CE为中线， ∴ B A C D E O 1 2 练习1、(02 河北)在△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC交AB于D,交AC于E,若BD+CE=9,则线段DE 的长为 . A B C E F D 9 练习2、△ABC中,AD既是角平分线又是中线,则△ABC是等腰三角形吗?为什么? B A C D E 答:是等腰三角形.原因是:延长AD到E,使DE=AD,连结BE. ∵BD=DC,∠BDE=∠ADC DE=AD ∴△ADC≌ △EDB ∴BE=AC ∠E=∠DAC 又∵∠DAC=∠BAE ∴ ∠E=∠BAE ∴AB=DE ∴AB=AC 即△ABC是等腰三角形。 例2、AD是△ABC为角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E，EF∥AC交AB于F，求证：AF=FB ∵EF∥AC ∴∠2=∠AEF，∴ ∠1=∠AEF ∴AF=FE ∵BE⊥AE，∴∠BEF+∠FEA=90° ∠ABE+∠1=90° ∴∠ABE=∠FEB∴BF=EF ∴AF=FB B C E A D F 2 1 G 证法二:延长BE、AC相交于G， ∵AE平分∠BAG ∴∠1=∠2 ∵ AE⊥BG ∴ ∠AEB=∠AEG=900 ∵ AE=AE ∴ △ABE≌ △AGE ∴BE=EG ∵EF∥AC ∴F是AB中点，∴AF=FB 1 E C A B D F 2 例3、(1)如图,已知△ABC和△A/B/C都是等边三角形,B/在BC上,求证:AB/=A/B 证明：∵ △ABC和△A/B/C/都是等边三角形 ∴B/C=A/C AC=BC ∠ACB/=60°=∠BCA/ ∴△ACB/≌△BCA/ ∴AB/=A/B. A C B A/ B/ (2)如图保持(1)中的△ABC不动,把△A/B/C绕点C按逆时针方向旋转一个角度α,此时,AB/与A/B是否仍然相等?若相等给出证明,若不相等,说明理由. 答:仍有AB/=A/B. A C B A/ B/ α 证明:在△ACB/和△BCA/ 中, B/C=A/C, ∠ACB/=60°+α=∠BCA/ 又AC=BC, 所以△ACB/≌△BCA/ ,故AB/=A/B 知识要点2: (1)掌握勾股定理,会用勾股定理进行有关的证明和计算; (2)会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形. 例4、四边形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°, ∠D=150°,四边形的周长为32.求四边形ABCD的面积. A B C D 60° 解:连BD,∵AB=AD=8,∠A=60° ∴△ABC是等边三角形 ∴∠ADB=60°,BD=8. ∵∠ADC=150°∴∠BDC=90° 设CD=χ, 则BC=16-χ ,在Rt△BCD中, ∵BD2+CD2=BC2 有82+χ2=(16-χ)2 ∴χ=6 例5、已知:正方形ABCD,点E是DC中点,F是BC上一点, BF=3FC,求证:△AEF为直角三角形. 证明:设正方形边长为4a,有: D A B C E F 知识要点3: (1)理解线段的垂直平分线的概念,掌握“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”,“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的定理; (2)了解轴对称及轴对称图形;会画对称轴及画与已知图形成轴对称的图形. 例6、已知:如图, △ABC中,AB=AC,∠A=120°, AB边的垂直平分线交BC于D,求证:DC=2BD A C D B 例7、已知同一平面内直线AB和任意两点M、N,在直线AB上取一点P,使点P到点M、N的距离和最小. 解:由于M,N与直线的位置关系没有确定,故可分为以下几种情况: P A B M N (2)点M,N只有一个点在直线AB上,则点M就是所求的点P. A B M N . (1)点M,N都在直线AB上,则点P是线段M,N上(包括点M和N)的任意一点. (P) (3)点M,N都在直线AB外,分以下两种情况: ①M,N在直线AB两侧； P M A B N .