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论给定区间素数的分布规律公式 田永胜 （内蒙古自治区 吉兰泰 750333） 摘要：通过对自然数按照一定方向旋转排列，找到了自然数的等势区间并集，并对每个区间的素数分布情况进行研究，给出了在给定区间内素数的分布定理、公式及推论。 关键词 自然数；螺旋排列；给定区间；素数分布；规律； 引言 自然数沿数轴方向排列时，素数的分布没有规律可循；当把自然数按一定的方向旋转排列时，素数的分布就变得有规律。下面揭示它的分布规律。 1 自然数的排列规律 首先，按逆时针方向把自然数进行排列，如下图： 自然数螺旋排列图 从上图可以看出，自然数集合N+也可以由一连串连续区间的并集组成，[1]∪（1，9]∪（9，25]∪（25，49]∪（49，81]∪（81，121]∪（121，169]∪……∪（（2x-3）2，（2x-1）2]…。并且，每个区间的最大数都是奇数（2x-1）的平方。 2 素数分布定理和公式 首先，来研究每一区间数字的素数分布情况： 第一区间只有自然数1，素数个数为0。 第二区间为（1，9］，有8个数字，其中素数有4个，所占比例为 4/8=0.5。 第三区间为（10，25］，有16个数字，其中素数有5个，所占比例为 5/16=0.3125； 第四区间为（25，49］，有24个数字，其中素数有6个，所占比例为 6/24=0. 25；以此类推。 其次，再来看每一个区间的素数分布与区间内的数有什么内在规律。1在中心，不是素数；在区间（1，9］有8个自然数，最大数是9，求9的自然对数的倒数，1/ln9≈0.455，与该区间实际素数所占比例接近；乘以总数8，值约等于3.64，取整数后为4，与该区间实际素数个数相同。在区间（10，25］有16个自然数，最大数是25，求25的自然对数的倒数， 1/ln25≈0.311，与区间内实际素数所占比例0.3125很接近，乘以总数16，值约等于4.97，取整数后为5，与该区间实际素数个数相同。在区间（25，49］有24个自然数，最大数是49，求49的自然对数的倒数， 1/ln49≈0.2569，与区间内实际素数所占比例0. 25很接近，乘以总数24，值约等于6.16，取整数后为6，与该区间实际素数个数相同。以此类推，如素数分布规律表所示。 素数分布规律表 由上表可以看出，在第2到第8区间，实际素数个数与理论素数个数相等，其他的区间实际素数个数在理论素数个数左右波动，每个区间实际素数的所占比例和理论素数分布密度非常接近。 下面，给出素数分布定理的一般形式。 定理 设x为自然数，在给定区间（（2x-3）2，（2x-1）2］内，素数的分布密度公式为 1/ln（2x-1）^2 给定区间内自然数的个数为 （2x-1）^2-（2x-3）^2=8x-8 用π(x)表示给定区间内的素数个数，则给定区间素数个数与自然数的个数之间存在如下线性关系 π(x)=( 8x-8)/ ln（2x-1）^2 若用Sn表示n圈内素数的总和，则 推论1 在区间（（2x-3）2，（2x-1）2］内， 只有有限个素数，当x趋向无穷大时，素数也趋向无穷大，即 接着，再来看每一个区间的孪生素数的分布情况：在区间（1，9］内有2、3和5、7两对孪生素数，在区间（9，25］内有11、13和17、19两对孪生素数，在区间（25，49］内有29、31和41、43两对孪生素数，在区间（49，81］内有59、61和71、73两对孪生素数，在区间（81，121］内有101、103和107、109两对孪生素数，在区间（121，169］内有137、139和149、151两对孪生素数，在区间（169，225］内有179、181和191、193两对孪生素数，每一区间内被小于或等于（2x-1）的素数约去后，都有两对孪生素数。因此，得出推论在每一个区间至少有两对孪生素数。 推论2 在区间（（2x-3）2，（2x-1）2］内至少有两对孪生素数。当x趋向无穷时，孪生素数也趋向无穷。 后记 突然发现素数是有限的，当对素数的分布密度1/ln（2x-1）^2求极限时，即x→∞时，1/ln（2x-1）^2=0，也就是说，无穷区间的素数概率为零，素数也为零，( 8x-8)/ ln（2x-1）^2=0，因此，推论1的极限应该是0，而不是∞，所以得出1到∞区间的素数的总和是有限的。 又一个数学悖论。 2015-9-1 21:39 想了一个月，突然想到，如果引入无穷小的概念，就可以解决这个问题。 ? ? 因为1位于无穷个区间的中心，数字按照等角螺旋进行排列，无穷大的倒数自然就是无穷小了。如果我们用符号⊙表示无穷小，那么 1/ln(2x-1)^2的极限值就等于⊙。 2015-10-08 21:50