选修4-4第2讲：参数方程(教师版).docx

参数方程1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：；反过来，对于t的每个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的，就是参数方程．二.圆的参数方程点P的横坐标x、纵坐标y都是t的函数：(t为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r的圆的参数方程．圆的圆心为O1(a，b)，半径为r的圆的参数方程为：（t为参数）.三．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆参数方程．四．双曲线－＝1的参数方程为(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠，φ≠.这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线参数方程．五．曲线C的参数方程为(t为参数，t∈R)其中p为正的常数．这是焦点在x轴正半轴上的抛物线参数方程．六.直线的参数方程1．过定点M0(x0，y0)、倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值．当t＞0时，的方向向上；当t＜0时，的方向向下；当点M与点M0重合时，t＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：(参数)，可把它化为标准形式：(t′为参数)．其中α是直线的倾斜角，tanα＝，此时参数t′才有如前所说的几何意义．类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程表示什么曲线解析：由(θ为参数)得x2＋y2＝9.又由0＜θ＜，得0＜x＜3，0＜y＜3，所以所求方程为x2＋y2＝9(0＜x＜3且0＜y＜3)．这是一段圆弧(圆x2＋y2＝9位于第一象限的部分)．答案：这是一段圆弧(圆x2＋y2＝9位于第一象限的部分)．练习1：指出参数方程(θ为参数，0≤θ＜2π)．表示什么曲线解析：由参数方程(θ为参数)得(x－3)2＋(y－2)2＝152，由0≤θ＜2π知这是一个整圆弧．答案：一个整圆弧例2：设直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的方程为y=3x+4,则l1与l2间的距离为______.解析：由条件知,l1∥l2,在l1中令t=0,则得坐标为(1,1).由点到直线距离公式得l1与l2距离为:答案：练习2：若直线(t为参数)与直线l2:(s为参数)垂直,则k=______.解析：由l1消去参数t得,斜率为-由l2消去参数s得,,斜率为-2.∵两直线垂直,,得k=-1.答案：-1类型二.曲线参数方程例3：已知点P(x, y)在曲线(为参数)上,则的取值范围为______.解析：曲线(为参数)是以(-2,0)为圆心,以1为半径的圆,设,求的取值范围,即求当直线y=kx与圆有公共点时k的取值范围,如图22-60结合圆的几何性质可得故填答案：练习1：已知点A(1,0),P是曲线(R)上任一点,设P到直线l:y=的距离为d,则|PA|+d的最小值是______.解析：y消去其图像是一段抛物线弧,如图22-61,是它的焦点,l是准线,d=|PF|,当A,P,F三点共线时,最小,其值是答案：例4：已知为参数,则点(3,2)到方程,的距离的最小值是______.解析：把,化为普通方程为所以点(3,2)到方程,的距离的最小值是答案：练习1：已知圆C的参数方程为(为参数),则点P(4,4)与圆C上的点的最远距离是______.解析：由得,则点P(4,4)与圆C上的点的最远距离是答案：6例5：已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．答案：设d1为点M到渐近线y＝x的距离，d2为点M到渐近线y＝－x的距离，因为点M在双曲线x2－y2＝1，则可设点M坐标为(secα，tanα)．d1＝，d2＝，d1·d2＝＝，故d1与d2的乘积是常数．练习1：将参数方程(t为参数，a＞0，b＞0)化为普通方程．解析：∵t＋＝，t－＝，又＝t2＋＋2＝，＝t2＋－2＝，∴－＝4＝－，即－＝1.答案：－＝1类型三.直线参数方程例6：曲线C1:(为参数)上的点到曲线C