重庆大学弹塑性力学-笛卡尔张量简述.ppt

第一章 笛卡尔张量简述 本章讨论欧式空间内，在笛卡尔坐标系间变换的张量理论的概念，这是最简单、最常用的，为叙述方便，以三维空间为代表，亦可推广到n维空间。 1-1 预备知识 坐标系的分类 直线坐标系 曲线坐标系 笛卡尔坐标系 仿射坐标系 正交曲线坐标系 非正交曲线坐标系 笛卡尔直角坐标系 笛卡尔斜角坐标系 以xi（i=1,2,3）表示笛卡尔坐标系的坐标， ， ， 分别表示三个坐标单位矢量。（i=1,2,3称为指标） 一、约定求和法 如果在同一项中，某个指标重复出现两次，就表示要对这个指标从1到3求和，例如 i称为约定求和指标，或“哑指标”，哑指标的字母可以替换，如 （1） （2） 式中，j是哑指标，i不参加求和约定，i称自由指标。 （3） （4） 二、克罗内克符号 显然 例如，在笛卡尔直角坐标中， 单位矩阵可以表示为 采用约定求和法以克罗内克符号给我们的书写和计算 带来很大的方便。下面是几个常用的性质和运算。 ① ② ③ ④ 指标缩并 1、定义 三、Levi-civita符号(置换符号) 其中： 其余21个全部为零。 2、采用Levi-Civita符号的方便性 ① 用置换符号表示三阶行列式的值 ② 用置换符号表示 则： 如： 又如： 其中 为一向量算子。 根据两者的定义，可知 ③ 和 的关系 根据行列式乘法规则，可知 若 ， ， ，则有： 例：求 原坐标系ox1x2x3，坐标轴单位向量为 ， ，。P点的坐标为 xi ，i=1,2,3。从O点到P点的向径记作xi 。新坐标系为ox1x2x3，坐标轴单位向量为 ， ，。P点在新坐标系下的坐标为 xj，j=1,2,3。从O点到P点的向径记作xj 。下面求xj与 xi 间的变换关系： 令： (1) 1-2 坐标变换 为oxi与oxj轴夹角的余弦，九个方向的余弦可列表为 x1 x2 x3 x1 x2 x3 向径可用两个坐标系表示： (2) 用 点乘上式得： 故 即： (3) 即 式（3）表示的坐标变换关系称为正变换，式（4）称为正变换系数矩阵。 (4) 同理式（2）中每边点乘 ，即得 故 即： (5) 式（5）表示的坐标变换关系称为逆变换，式（6）称为正变换系数矩阵。 即 (6) 显然，对于笛卡尔直角坐标系，逆变换矩阵恰好是正变换矩阵的转置。 因为 故 则 当i=k时， 则 当i≠k时，必有 (7) 同理 (8) 还可以证明 1-3 张量的定义 张量是由满足一定关系的一组元素所组成的整体，元素的个数由空间的维数N即及张量的阶数n决定。我们以N=3为代表给出各阶张量的定义。 一、零阶张量（标量） 零阶张量有30=1个元素，它是坐标变换下的不变量，即 这就是我们熟悉的标量。 二、一阶张量（向量） 如果有31=3个元素Ti，它们随坐标系变化的规律为 则由这3个元素所组成的的整体称为一阶张量，记作T, Ti（i=1,2,3）称为T的分量。 或者 记作 三、二阶张量 如果有32=9个元素Tij，i,j=1,2,3,它们随坐标系变化的规律为 或者 例如，应力σij全体是二阶张量，在平面问题中（二维空间）称为应力张量。 则由这9个元素所组成的的整体称为二阶张量，记作T=(Tij)，也可以写成方阵形式： 四、n阶张量 n阶张量有3n个分量，每个分量有n个指标，这些分量随坐标的变化规律为 例如广义胡克定律： 其中 为一四阶张量（各项同性张量） 关于张量的运算规则以及进一步的讨论，在此不再介绍， 有兴趣的可参阅张量分析的有关书籍。