高三数学系统复习-立体几何(全面总结_含模拟试题).doc

立体几何复习 编写人：杨小琴 本周教学内容：立体几何基础、平行、垂直的证明 教学重点：系统化梳理立体几何知识、方法体系；寻求证明“平行、垂直”类问题的一般策略性思路方法。 范例分析 例1．已知D、E、F分别是三棱锥S-ABC的侧棱SA、SB、SC上的点，且直线FD与CA交于M，FE与BC交于N，DE与AB交于P，求证：M、N、P三点必共线。 证明：∵FD∩CA=M，FE∩CB=N，DE∩AB=P ∴M、N、P在由D、E、F确定的平面上，又在平面ABC上， 即：M、N、P是平面DEF与平面ABC的公共点， ∴ 它们必在这两个平面的交线上， 故M、N、P三点共线。 例2．如图，在空间四边形ABCD中，E、F、G三点分别在AB、BC、CD上，且=2，=3，过E、F、G作一平面交AD于H，求证：EH、FG、BD三线共点。 证明：连结AC，GH， ∵，∴ AC//EF，EF=AC， ∴ AC//平面EFGH， ∴ AC//HG，∴=3，=，∴EF//GH，EFHG, ∴ 四边形EFGH为梯形， 设EH与FG交于点P，则：P∈平面ABD，P∈平面CBD， ∴ P点在两平面ABD和CBD的交线BD上， ∴ EH，FG，BD三线共点。 简评：有关点共线，点共面，线共点，共面，异面的问题是空间观念最基本的问题，虽说在高考中很少有单独的题目出现，但它涉及对四个公理及其推论的深入理解，训练最基本的空间思维能力和逻辑推理能力，是切实提高空间想象能力出发点，复习中易被同学忽略。通常运用公理、推论及平面几何知识（1）证明若干点共线证明这些点是某两个平面的公共点；（2）证明若干个点或若干条直线共面的问题，通常由其中某些元素作出一个平面，再证明其它元素均在该平面上；（3）证明三线共点的问题是证明两条直线的交点在第三条直线上，可推广到n条直线共点的情况。 例3．异面直线l1与l2互相垂直，MN为它们的公垂线，长为b，M∈l1,N∈l2,P,Q分别为l1,l2上的两点，P∈l1,Q∈l2, PQ=a，A、B分别为PQ，MN中点，求AB的长。 分析：降维，空间问题的平面化是解决立体几何问题的基本思路，这道题该考虑如何将所求线段与已知长的线段之间在一个平面内建立联系。 解：过N点作直线l1//l1,过P作PC//MN交l1于C，连结CQ，作CQ中点D，连结AD，DN， ∵MN为l1,l2的公垂线，设l2与l1确定平面为(， ∴MN垂直平面(， ∴PC⊥(，PC=MN=b, ∴ PC⊥CQ, ∴CQ=, ∵ l1⊥l2, ∴，即∠CNQ为直角， ∴ DN=， 又∵A为PQ中点， ∴ADPC， ∴ ADMN 即 ADBN 即四边形ADNB为平行四边形， ∴AB=DN=。 评注：此题看起来有些难，但所用的思路方法涉及知识点都是最基本的，在一些空间关系辨析题中经常涉及。 例4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别为BD和CD1上一点，且BP=CQ。求证：PQ//平面ADD1A1 分析：证线面平行(判定？(在平面AD1上找一条与PQ平行的直线，证明一过PQ的平面与AD1平行， 证明（法一）：过P作PE//AB交AD于E，过Q作QF//DC，交DD1于F，连结EF， 则，， ∵ 正方体ABCD-A1B1C1D1， ∴CD1=BD， AB//DC， 又∵BP=CQ， ∴EPFQ， ∴ 四边形EPQF为平行四边形， ∴ EF//PQ，又∵EF(平面ADD1A1 ∴ PQ//平面ADD1A1。 （法二）：连结CP延长交DA或其延长线于G，连结D1G， ∵ 正方体ABCD-A1B1C1D1，CQ=BP， ∴ ，又∵DA//BC， ∴， ∴ ， ∴ PQ//D1G， 而D1G(平面ADD1A1， ∴PQ//平面ADD1A1 （法三）：过Q作QK//D1D交DC于K，连结PK, 则有： 又∵ 正方体A-D1中，CQ=BP， ∴ ， ∴ KP//BC//AD, QK∩PK=K, ∴平面PKQ//平面ADD1A1， ∵ PQ(平面PKQ, ∴PQ//平面ADD1A1。 例5．已知平面(∩平面(=a，(((，(((。求证：a((。 分析：证线面垂直(判定方法？((1)在平面(上找两条相交直线使之与a垂直 (2)找a的平行线，它与(垂直 (3) 找与(垂直且过a的一个平面，使a与两平面的交线垂直(4)a垂直(的平行平面。 证（法一）：设(∩(=b, (∩(=c，在(上任取一点P作PA(b于A，作PB(c于B， ∵(⊥(，(⊥(， ∴ PA⊥(，PB⊥(，又∵(∩(=a, ∴ PA⊥a, PB⊥a, ∵ PA∩PB=P, PA((,PB((, ∴a⊥(. （法二）：在(内任取点D，Da，过D作直线DE(b于E，在(内任取点F，Fa，过F作FG⊥C于G， ∵(⊥(，(⊥(，∴