高二数学空间向量课件.ppt

第3章　空间向量与立体几何 2.空间向量的加法、减法运算 考点突破 (1)证明　∵ED⊥平面ABCD，AD?平面ABCD， ∴ED⊥AD． 又∵四边形ABCD为正方形， 因此AD⊥CD． ∵ED∩CD＝D， ∴AD⊥平面CDEF. 由于CF?平面CDEF， ∴AD⊥CF. 又AF⊥CF，AF∩AD＝A． 故CF⊥平面ADF. 考点三　利用空间向量求二面角 【例3】(2014·广东卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D－AF－E的余弦值． 考点突破 (2)解　如图所示，建立空间直角坐标系， 点D为坐标原点，设DC＝1. 由于∠DPC＝30°，PD⊥CD， 考点三　利用空间向量求二面角 【例3】(2014·广东卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D－AF－E的余弦值． x y z 由于CF⊥FD，FE∥CD， 从而D，A，C，F，E五点的坐标分别为 D(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)， 考点突破 设平面AEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 考点三　利用空间向量求二面角 【例3】(2014·广东卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D－AF－E的余弦值． x y z 由于CF⊥平面ADF， 由图可见所求二面角θ的余弦值为 考点突破 规律方法　 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 考点三　利用空间向量求二面角 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （化为向量问题或向量的坐标问题） （进行向量运算） （回到图形） * 一.空间向量的基本概念 0 1 长度相等 方向相反 长度相等 方向相同 任意 a b A B b C O 三角形法则：首尾相连首尾相接 平行四边形法则：起点相同连对角. (1)空间向量的加法 ⑵空间向量的减法 三角形法则 A B a b . 注意： 1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同 2、由减向量的终点指向被减向量的终点。 共起点 O 1、两个向量的夹角 二、空间向量的数量积及其运算 2、两个向量的数量积 3、空间向量数量积的运算律 与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律： 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 4、空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 都叫做基向量 三、空间向量的坐标运算 1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。 2.两个向量夹角公式 注意： （1）当　　　　　　 时，　　　同向； （2）当　　　　　　 时，　　　反向； （3）当　　　　　　 时，　　　。 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝ (a2，b2，c2)，则l∥α?a⊥u?________? __________ (2)面面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)， 则α∥β?u∥v?________? __________________________ (λ∈R)． a·u＝0 a1a2＋b1b2 u＝λv a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2 ＋c1c2＝0 (1)线面平行 四、空间向量与立体几何 （一）空间平行关系的向量表示 （二）空间垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?_____? _______? _____________ ． (2)线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?u∥v? ______． (3)面面垂直 设平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β?______