高数A1第一讲映射与函数.ppt

1 -1 x y o 例7 函数 称为符号函数,定义域 D=(－∞,+∞),值域 ={1,0,－1}. 注:对任意的x,有 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 [x]表示不超过x的最大整数 例8 取整函数 y=[x] 如[-3.4]=-4,[－1]=－1, 定义域 D=(－∞,+∞), 值域 =Z. 例9 函数 是一个分段函数.它的定义域 D=[0,+∞). 如: y x O 1 2、函数的特性 (1)．函数的有界性: 设函数 的定义域为 ， 数集 如果存在数 ， 使得 对每个 都成立， 则称函数 在 上有上界. (有下界) 如果存在正数 ， 使得 对每个 都成立， 则称函数 在 上有界. 如果这样的 不存在 则称函数 在 上无界. o y x M -M y=f(x) X 有界 M -M y x o X 无界 有界←→有上界且有下界 函数 在 上无界, 即: 如果对于任意正数 , 总存在 ,使 成立. 例如: 函数 ,在 内 显然, , 对每个 都成立. 在 内有上界. 又易知, , 对每个 都成立. 在 内有下界. 还可知道: , 对每个 都成立. 在 内有界. 又例如: 函数 ,在 内 有 在 内 有下界. 但是, 它在 内 没有上界, 它在 内 是无界的. 不存在这样一个正数 , 使 对每个 都成立. (2) 函数的单调性: x y o 设函数f (x)的定义域为D, 区间 如果对于区间I上任意两点x1和x2,当x1x2时,恒有 则称函数f (x)在区间I上是单调增加的(单调减少的); x y o (3) 函数的奇偶性: 偶函数 y x o x -x 设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于 有f (-x)= f (x)恒成立,则称f (x)为偶函数; 偶函数的图形关于y轴对称. 函数 y=cosx是偶函数. 奇函数 y x o x -x 设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于 有f (-x)= -f (x)恒成立,则称f (x)为奇函数. 奇函数的图形关于原点对称. 函数 y=sinx是奇函数. 函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数. (4) 函数的周期性: 函数sinx, cosx的周期是 函数tanx的周期是 （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 则称f (x)为周期函数, l 称为f (x)的周期. 有 对于任一 且 恒成立, 设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得 有理数点 无理数点 ? 1 x y o 例10 狄利克雷函数 它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期. 3. 反函数与复合函数 反函数的定义: 设函数 是单射,则它存在 如:函数 是单射,其反函数为 若函数f (x)在D上是单调函数,则 也是f (D)上的 单调函数. D D ) ( x f y = 函数 称此映射 为函数f 的反函数. 逆映射 直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称. 相对于反函数 原来的函数y=f (x)称为直接函数. 复合函数 定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有 定义,且 则由下式确定的函数 称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量. 函数g与函数f 构成的复合函数通常记为 函数g与函数f 构成复合函数 的条件是: 函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域 内,即 ------“代入” 注:1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合 函数的; 2. 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 如: 如: 4. 函数的运算 设函数f (x), g (x)的定义域依次为 则可以定义这两个函数的下列运算： 和(差) 积 商 5、初等函数 (1) 基本初等函数 i).幂函数 ii).指数函数 * * * * * * * * * * * * * * * * * * 课程简介 高等数学-----微积分(calculus,源于calculate) 是十七世纪后期建立的一门研究计算的数学分支,主要工作由牛顿,莱布尼兹完成,起源于计算不规则图形面积和变速运动的路程. 主要思想方法:细分,求和,取极限. 研究对象:函数. 核心思想:极限方法. 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 一、映射 二、函数 一、映射 1、映射概念 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号 某班学生的集合 某教室座位 的集合 按一定规则入座 例 定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f 使得 有唯一确定的