高数期末复习资料(第八章,第九章).docx

第八章；向量代数与空间解析几何 1.向量及其线性运算1.1向量概念及线性运算 1.2 向量的方向角，方向余弦，在某轴的投影例：，则，，，投影 2.向量的数量积，向量积，混合积：，， 3.平面3.1 平面方程平面的点法式方程：平面的一般方程: 平面的截距式方程: （知三点求平面方程：利用任意两点做差乘得法向量，在利用另一点用点法式可得）3.2两平面的夹角 夹角余弦： 4.空间直线4.1 空间直线的方程（1）一般式：可看作两平面交线 （2）对称式： （3）参数式：4.2空间直线的位置关系 ；5.点线面距离：66设（1）两点间距离公式： （2）点线距离，直线过M1，方向向量为， （3）两直线间距离：设L1,L2 分别过M1,M2, 且方向向量分别为，， 则6.曲面及其方程6.1旋转曲面：平面曲线绕其坐标轴旋转时，则该坐标轴对应的变量不变，另一变量改为该变量与第三个变量平方和的正负平方根，如设有曲线其绕x 轴旋转形成的旋转曲面方程为: 绕Y 轴旋转形成的旋转曲面方程为: 例：球面： 圆锥面： 旋转双曲面： 6.2柱面： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面，这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线. （曲面方程缺一个变量） 例：圆柱面： 抛物柱面： 椭圆柱面： 6.3二次曲面 （1）椭球面： (2) 椭圆抛物面： （3）马鞍面： （4）单叶双曲面 （5）双叶双曲面： （6）双曲抛物面（马鞍面） （7）椭圆锥面： （z=xy为马鞍面） 7. 空间曲线方程,投影 (1)空间曲线的一般方程: (2) 空间曲线的参数方程: (3) 曲线在xoy面上的投影曲线为: 练习题：1. 椭圆绕轴旋转而成的曲面方程为（ ）。2. 求通过直线l：且与平面: x-4y-8z+12=0成45度角的平面方程?练习题答案： 1. 2.解：过已知直线的平面束方程为： 即 其法向量 又已知平面法向量由题设知： 即解得 得平面方程 第九章：多元函数微分法及其应用1.多元函数的极限：P(x,y)以任何方式趋向P0(x0,y0)，f(x,y)都无限接近A 练习1： 多元函数的连续性：极限值等于函数值，则函数连续2.偏导数（1）定义： 为f(x,y)对x的偏导数，记作fx， （对哪个变量求偏导，就把其他变量看成常数，再按一元函数的求导法则来求。） （2）几何意义：，可分别看做曲线在点对x 轴和y 轴的斜率； (3) 高阶偏导数:函数z=f（x，y）的二阶偏导数为： ， ， 3.全微分： (1)定义：设函数z=f(x,y)在点（x,y）内有定义，若函数在点（x,y）的全增量可表示为 其中A，B分别为x,y对z的偏导数（2）多元函数连续、可导、可微的关系连续不一定偏导存在，偏导存在不一定连续，可微一定偏导存在，偏导存在不一定可微。二阶偏导连续一定可微。练习2：讨论函数在点的可微性4. 多元复合函数的求导法则 链式法则：如果 都在点（x,y）有偏导数，函数在对应点（u，v）具有连续偏导数，则有 全微分形式不变性：5. 隐函数求导公式（1）方程情形： F(x,y,z)=0， （2）方程组情形：雅可比行列式：，J, 则： 练习3：设，求. 6．多元函数微分学的几何应用 (1).空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为，则曲线在点处 切向量为（，），切线方程为， 法平面为=0 (2)，曲面的切平面与法线 曲面切平面的法向量为 =(Fx,Fy,Fz)，切平面为=0法线为 练习4.曲面在点的法线方程为 （ ）方向导数与梯度方向导数:若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)某邻域内有定义，则方向导数为，其中,记作 其中为方向余弦(三元函数同理，加字母z)梯度：函数在P0(x0,y0)的梯度grad f(x,y)=（）沿梯度正方向的方向导数最大练习5. 求在点处方向导数的最大值.7. 多元函数的极值及其求法 （1）确定极值点：设函数 z=f(x,y)在点（x0,y0）的某一邻域内连续且有一阶及二阶可导连续,且 满足一阶偏导等于零（驻点），引入判别式： 当时，有极值，且当A0时，有极小值(矩阵为正定时)A0时，有极大值（矩阵为负定时） 当时，没有极值；当时，不能确定（2）条件极值 拉格朗日乘数法 对于函数z=f(x,y),在φ (x,y)=0 条件下的极值，令L(x,y)=f(x,y)+ φ (x,y) ?求的驻点就是可能的极值点。三元函数同理。 练习6. 求椭球面第一卦限上的一点，使得此点处的切平面与三坐标面所围成的体积最小练习题答案：令，则，k取不同值时极限不同，故极限不存在。2. 解：讨论可微，首先考察函数在的可导性， 全增量 （无穷小乘有界函数为无穷小）故函