高等数学(上册)教案23 微积分的基本公式.doc

第5章 定积分及其应用 微积分的基本公式 【教学目的】： 理解变上限积分函数的概念及性质； 掌握牛顿—莱布尼兹公式并熟练应用。 【教学重点】： 变上限积分函数及其导数； 牛顿—莱布尼兹公式。 【教学难点】： 变上限积分函数及其导数。 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 5.2.1 变上限积分及其导数 由定积分的几何意义可知， 定积分表示连续曲线在 区间上的曲边梯形的面积，如果 是上任一点，同样，定积分 表示曲线在部分区间上的曲边 梯形（图5－9中阴影部分）的面积. 当在区间上变化时，阴影部分的曲边 梯形面积也随之变化.即在区间上变化 时，定积分的值随变化而变化， 由函数定义知是上限变量的函数，称为变上限积分，记为,即 （）. 关于变上限积分有如下定理 定理1 若函数在区间上连续，则变上限的定积分 在区间上可导，并且它的导数等于被积函数在上限的值，即 . 本定理把导数和定积分这两个表面上看似不相干的概念联系了起来，它表明：在某区间上连续的函数，其变上限积分是的一个原函数. 即 定理2 （原函数存在定理） 如果函数在区间上连续，则在该区间上，的原函数存在。 例1 求. 解 因为是变上限的积分，由定理1可知， =. 例2 求. 解 这里是的函数，即是的复合函数，故可设=， ，利用复合函数求导公式，有 =. 由例2可得出一个公式：设， 则 变限积分函数是一类构造全新的函数，它对变限的导数是一类新型函数的求导问题，完全可以与求导有关的内容相结合，如导数的运算法则、洛必达法则求极限、函数单调性和极值等等。 例3、设，求 解 例4、求极限 解 由洛必达法则 例5、证明：当时，函数单调增加。 证明： 当时，，故函数单调增加。 5.2.2 牛顿-莱布尼兹公式 定理3 如果函数在区间上连续，是在区间上的任一原函数，即 ，则 . 证 由定理1，是在上的一个原函数，又也是在上的一个原函数.由原函数的性质可知，同一函数的两个不同原函数仅相差一个常数，即 （） 、把代入上式，得 于是有 又将 代入 上式， 得 ， 移项，得 ， 再将积分变量换成，得 为了使用公式的方便，将上式右端的记为，这样，式就可写成 上式称为牛顿－莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式. 该公式可叙述为定积分的值等于其原函数在上、下限处值的值，该公式把定积分与原函数这两个本来似乎并不相干的概念之间建立起了定量关系，也揭示了定积分与不定积分之间的内在联系： 例6 计算. 解 由于是的一个原函数，所以，根据牛顿－莱布尼茨公式， 有 . 【教学小节】： 通过本节的学习，掌握变上限积分函数及其性质，理解牛顿—莱布尼兹公式，并学会应用其求解简单定积分。 【课后作业】： 能力训练 P137 4（1、6、7、11） 图5-9