高等几何习题解答.docx

高等几何习题解答习题一1．0设，为二定点，为定直线。于上任取，，又与交于，与交于，求证：通过上一定点。解：把直线射影为无穷远直线，则点，，，变为无穷远点，，，，所以，，，，得两个平行四边形。在 中，，是对角线，交于，且是的中点。在 中，，是对角线，交于点，且是的中点，∴≡＝，从而，通过上一定点。1.1 写出下列各直线的绝对坐标：答：（1）；（2）；（3）1.2 写出下列个点的方程 答： 1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：，， 答： 1.4求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标： 答： 1.5如果直线的方程分别是：求直线的方程和坐标。 答：方程为。1.6把笛卡尔三维空间里经过原点的直线作为“点”；把经过原点的平面作为“直线”，求证：这些“点”和“直线”的集合可定义为射影平面。证明：在笛卡尔三维空间里有下列事实： 经过原点的任意二不同的直线属于一个而且只属于一个经过原点的平面； 经过原点的任意不同的二平面相交于一条而且只相交于一条经过原点的直线。因而集合里的“点”和“直线”满足下列条件： 任意而不同的“点”属于一条而且只属于一条“直线”；任意二不同的“直线”属于一个而且只属于一个“点”。而且，当经过原点的直线属于经过原点的平面时，可以看作的“点”属于“直线”。所以集合可以定义为射影平面。2.1试证点是共线的，试求和，使得又求和的一个表示和使得答：2.2 试求直线共点。并求和的固定表示和，使答：2.3写出下列命题的对偶命题直线上至少有三点。射影平面上至少存在四条直线，其中任何三条直线不共点。、、、为无任何三点共线的四个点，交于交于交于连接得一个三点形。答：线束里至少有三条直线。 射影平面上至少存在四个点，其中任何三点不共线。 、、、为无任三线共点的四条直线，和的交点与和的交点的连结为，和的交点与和的交点的连线为，和的交点与和的交点的连线为，，，组成一个三线形。2.4 写出下面作图题的对偶命题，并画出对偶图形（不必写做法）。已知三点形的顶点、、和不在三点形任何边上的任意一点，并作三点形的每一顶点与点的连线，，。图2对偶命题：已知三线形的三边，，，和不通过三线形任何顶点的任意一条直线，求作三线形的每一边与直线的交点，，。对偶图形为右图。2.5 已知三点形和点，而不在三点形的边上，令，，，，，，试证，，共线。提示，对三点形和应用笛沙格定理。3.1 在意直线上取点，作为基础点，作为单位点，建立射影坐标系，试求点的齐次和非齐次射影坐标。答：，，，3.2 在一线束里取直线，为基础直线，取为单位直线，建立射影坐标系，试求的齐次和非齐次射影坐标。答：，3.3 如果点，，取作射影坐标系的参考三点形的顶点，为单位点，试求点在这个坐标系里的齐次射影坐标和方程。答：，3.4 试写出坐标三点形个边上任意点的坐标和方程；又写出通过各顶点的任意直线的的坐标和方程。解：设上不同于的任意点上不同于的任意点，设上不同于，的任意点设通过而不同于，的任意直线为，则，方程是通过而不同于，的任意直线，则，方程是通过而不同于，的任意直线，则，方程是3.5 试证：如果，，，是四个点，其中没有任何三点共线；而且，其中，，取和，则三个点共线（提示：选择，）证明：选择，，， 则同理，。又同理 所以共线。另证：观察三点形和，对应顶点的连线，，属于一点，由笛沙格定理，对应边的交点，，属于一条直线。3.6 设两条直线和上各有三个不同点，，和，，，这些点与都不同，那么三个点：，，是共线的。（定理）。又叙述其对偶定理，并画出对偶图形。证明：建立坐标系，~，~，~，~在上而且不同于和，所以的坐标为~点在上且不同于和，所以的坐标可设为。 ~ ~ 、、共线。 定理的对偶定理：设通过两个点和各有三条不同的直线，，和，，，这些直线与直线都不相同，那么三直线，，是共点的。对偶图形：（图4）图4图53.7 已知三点形和两点、，确定点，使得，和共点，而且，和也共点，并求证，和共点。（如图5）证明：当两个已知点，中至少有一个点在已知的三点形的边上时，本题显然成立、因此，假设和都不在三点形的边上；点的作法如下：首先，作，则点又在上；再作，则点又在上，因此，为了证明，和共点，可以选择坐标系，计算这三条直线的坐标，然后证明行列式即可。由此取，，，，，，则直线，的坐标依次为~，~从而~ ~，~ ~由此求得~，~，~所以，，，共点。本题证明也可以用定理的对偶定理来证明。3.8 已知定直线和不在上的两定点，。若，是ξ上的两个动点，，而且，都不与重合。又点，，求证是一个定点。证明：取各点坐标，在直线上取点和，则的坐标，设，的坐标依次为，，(，，，否则或者，与重合)。于是有 ， ，从而 所以 的坐标不含参数，为定点。3.9 在一条直线上取，和作参考点(其中作为单位点)，建立