高等量子力学课后题EX1.doc

练习 1.1 试只用条件（1）~（8）证明，和。 （完成人：梁立欢 审核人：高思泽） 证明：由条件（5）、（7）得 只需证明和这两式互相等价 根据条件（7） 现在等式两边加上，得 根据条件（4）， 上式左 根据条件（4）、（2） 上式右 由，根据条件（4）、（7）得 # 练习 1.2 证明在内积空间中若对任意成立，则必有。 （完成人：谷巍 审核人：肖钰斐） 证明 由题意可知，在内积空间中若对任意成立，则有 ,－,=0 (1) 于是有 (2) 由于在内积空间中对任意成立，则可取,则有 =0 成立 （3） 根据数乘的条件（12）可知，则必有 （4） 即 故命题成立，即必有. # 练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。 （完成人：赵中亮 审核人：张伟） 解：矢量空间运算的12个条件是独立的。 # 练习 1.4 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角的分角线方向，空间是否仍为内积空间？ （2）在第二个例子中若将二矢量内积的定义改为或，空间是否仍为内积空间？ （3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为 空间是否仍为内积空间？ （4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为 空间是否仍为内积空间？ （完成人：张伟 审核人：赵中亮） 解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。 因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元，如一个不为零的矢量设为，则任意矢量和它相加后，得到的矢量的长度不为零，所以一定不能得到零矢量，即找不到逆元。所以空间不是内积空间。 （2）在第二个例子中若将内积的定义改之后，空间不是一个内积空间。证明如下： 一般情况下，,即有 = 所以内积的定义改变之后不是内积空间。 （3）在第三个例子中若将内积的定义改之后，空间仍然是一个内积空间。证明如下： i ii． iii． iv.，对任意成立 若 综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间 （4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为 后，空间不是内积空间。 因为，积分号内的函数是一个奇函数，它不能保证对于任意的积分出来后都大于零，即不符合条件(12)，所以不是内积空间。 在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为 后，空间是内积空间。 证明如下: i ii iii iv 若，则必有 综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间。 # 练习 1.5若a为复数，证明若时，Schwartz不等式中的等号成立。 （完成人：肖钰斐 审核人：谷巍） 证明：当若时，分别带入Schwartz不等式的左边和右边。 左边= 右边= 左边=右边，说明当时，Schwartz不等式中的等号成立。 # 练习1.6 证明当且仅当 对一切数成立时，与正交。并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。 （完成人：赵中亮 审核人：张伟） 证明：解：当对一切数成立时，有 即 得 即 因为可以取一切数,所以当取纯虚数时，即 得 由此得只能是实数 当取非零实数时，即 只有时，即与正交时才成立 所以 当 对一切数成立时，与正交。 当与正交时， 则 取为任意数 则 得 即 对一切数成立 综上，当且仅当 对一切数成立时，与正交。 在三维位形空间中，这一命题的几何意义是：对角线相等的平行四边形是矩形。 # 练习1.7 证明：当且仅当对一切数成立时，与正交。 （完成人：班卫华 审核人：何贤文） 证明：因为，两边平方得 则构成以为变量的二次函数，要使对一切成立，判别式恒小于等于零， 即 只需 即 得 所