高等数学 同济七版 教案 函数与极限 1.1.ppt

(1) 反函数的概念及性质 若函数 为单射, 则存在一新映射 习惯上, 的反函数记成 称此映射 为 f 的反函数 . 使 其中 3. 反函数与复合函数 x y O 则其反函数 y = f -1(x) (1) y = f (x) 单调递增(减)， 存在，且也单调递增(减) . 反函数有以下性质: (2) 函数 y = f (x) 与其反函数 y = f -1(x) 的图形关于直线 y = x 对称． (2) 复合函数 则 设有函数链 称为由①, ②确定的复合函数 , ① ② u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 : 时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数, 可定义复合函数 当改 但可定义复合函数 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 可定义复合函数: 约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件. 4. 初等函数 (1) 基本初等函数 幂函数 y = x? (??R是常数)， x y O 指数函数 y = ax (a0且a?1)， x y O 对数函数 y = loga x (a0且a?1)，a=e时，记为y = ln x x y O 三角函数 x y O x y O x y O 反三角函数 x y O x y O (2) 初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步 否则称为非初等函数 . 例如 , 并可用一个式子表示的函数 , 骤所构成 , 称为初等函数, 可表为 故为初等函数. 符号函数 是非初等函数． 第一节 映射与函数 二、映射 三、函数 1. 映射的概念 二、映射 定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应 规则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 射 f 的定义域 ; Y 的子集 称为 f 的值域 . 注意 (1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. (2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. 集合 X 称为映 x y f (x) = x2 -2 2 4 原像 原像 像 O 例1 设 f : R?R，对每个 x ? R，f (x) = x2 . f 是一个映射， f 的定义域 Df = R， 显然， 值域 Rf = { y| y ? 0 }， 值域 Rf 是 R 的一个真子集． 对于 Rf 中的元素 y， 除 y = 0外，它的原像不是唯一的． y = 4的原像就有 x = 2, x = -2两个． 例2 设 X = {(x , y) | x2 + y2 = 1},Y = {(x , 0) | |x| ? 1 }, 与之对应． f : X?Y，则对每个 (x , y) ? X，有唯一确定的(x , 0) ? Y 显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ． 在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上． 1 1 (x , y) x (x , -y) x y -1 -1 O 例3 设 f (x) = sin x ． 则f 是一个映射，定义域 值域 Rf = [ -1 , 1 ] ． 对每个 x y f (x) = sin x -1 1 O 对映射 若 , 则称 f 为满射. X Y f 满射 上面的 是满射． 若 有 则称 f 为单射. 对映射 X Y f 单射 上面的 是单射． 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. 对映射 X Y f 双射 上面的 既是单射又是满射，故是双射． X (数集或点集 ) 说明 在不同数学分支中有不同的惯用 X (≠ ? ) Y (数集) f 称为X 上的泛函 X (≠ ? ) X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的函数 映射又称为算子. 名称. 例如, 2. 逆映射与复合映射 定义 设 f 是 X 到 Y 的单射， 则由定义，对每个 y 有唯一确定的 适合 f (x) = y . 于是，我们可 定义一个从 Rf 到 X 的新映射 g，即 对每个 y ? Rf , 规定 g(y) = x , 其中 x 满足 f(x) = y . 则称 映射 g 为 f 的逆映射， 记作 f -1 , 其定义域 值域 只有单射才存在逆映射 定义 设有两个映射 其中 Y1 ? Y2 , 则由映射 g 和 f 可以定义一个从 X 到 Z 的对应法则，