蓝以中第三章行列式3.3.doc

§3 行列式的初步应用 在这一节里，我们应用行列式理论来讨论线性方程组和矩阵论中的若干问题 齐次线性方程组 首先证明一个重要命题。 命题3.1 设是数域上的一个阶方阵，则满秩的充分必要条件是其行列式。 证 必要性 时显然成立。设。在上定义函数。它显然是反对称列线性函数。若，但。则。由第二章命题5.2的推论1知可单用初等列变换化为，再由本章命题2.1的推论知，矛盾故。 充分性 因为为行列式函数，由定义可知。 现在来讨论个未知量个方程的齐次线性方程组 根据第二章定理3.1的推论，上面的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的秩小于未知量个数。现在是一个阶方阵，由命题3.1，的充分必要条件是。故由如下重要推论。 定理3.1 数域上的个未知量个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的行列式为零。 这个定理告诉我们：如果这样的齐次线性方程组系数矩阵的行列式不为零时，它就只有零解。主要这定理仅限于个未知量个方程组的情况。 逆矩阵 首先我们介绍数学中一个常用的记号，命 这个记号称为克朗涅可记号。利用这个记号，许多数学式子就可以写的比较简洁。例如，单位矩阵可以写成，即的行列元素为。 命题3.2 阶方阵的行列式和它的代数余子式有如下关系： 证 当时上面两个等式即为命题2.7.下面来证的情况。我们只要证明了第一个关于行的公式，那么，由行列式的性质1，第二个关于猎德公式就随之成立。 把的第列元素换成，得矩阵。的两行相同，故。把对第行展开，就有 其中利用了与仅是第行不相同，故第行元素的代数余子式与的第行元素的代数余子式相同。 给定数域上一个阶方阵 用的代数余子式排成如下一个阶方阵 （即的行列处放置代数余子式），称为的伴随矩阵。根据命题3.2，有 如果，则有 这表示此时可逆，且 反之，若可逆，则由第二章命题5.4知满秩，再由命题3.1知，于是有意义，那么，它就是的逆矩阵，故有 定理3.2 阶方阵可逆的充分必要条件是。在可逆且时，有 例3.1 给定矩阵 有 故可逆。在§2的例2.4中已经算出的全部代数余子式。于是可写出的伴随矩阵 那么，的逆矩阵是 下面再来讨论个未知量个方程的线性方程组 命 则方程组可写成 现在（1）的系数矩阵是一个阶方阵。我们有如下两个结论： 方程组（1）有唯一解得充分必要条件是。 证 必要性 若，由命题3.1知，。从而方程组（1）的增广矩阵的秩（因只有行，其秩不超过，而），故方程组有解。再由第二章定理3.3的知解唯一。 充分性 若方程组有唯一解，则由第二章定理3.3的可知，。再由命题3.1知，。 当，方程组有唯一解时，命 代入式，即知式就是方程组的唯一解。 现在用伴随矩阵表示。把定理3.2的结论代入式，得 命 恰为把的第列换成方程组的常数项而得的阶行列式。此时方程组的解可表为 由此既得如下重要结论： 定理3.3 若数域上的个未知量个方程组的线性方程组的系数矩阵的行列式时，则它有唯一的一组解 其中是把的第列换成方程组的常数项而得的阶行列式。 定理3.3通常称为克莱姆法则。 例3.2 解方程组 解 先算系数矩阵的行列式 故克莱姆法则可以应用。由于 故方程组的唯一的一组解为 从上面的例子可以看出，如用克莱姆法则去解线性方程组，其计算量是很大的，远不如用第一章的矩阵消元法简单。但这个法则对理论上讨论某些问题是有用的。还应当注意：克莱姆法则只能用于个未知量个方程且系数矩阵的行列式不为零的线性方程组。 矩阵乘积的行列式 现在来考虑两个阶方阵乘积的行列式。 命题3.3 设是阶初等矩阵，是任一阶方阵，则 证 相当于对做一次初等行变换。下面分三种情况讨论： ，则。而是互换的两行，由行列式性质2，有 ，则。而是把的第行乘以，由行列式性质4， ，则。而是把的第行加上第行的倍，由行列式性质5，。 推论 设是阶初等矩阵，是任一阶方阵，则有 证 反复利用命题3.3，有 定理3.4 对数域上任意两个阶方阵，有 证 分两种情况讨论 若，则。由第二章命题4.5，有 故 若，则由命题3.1，。再由命题5.2，可表为初等矩阵的乘积： 于是由命题3.3的推论，有 定理3.4是一个有用的工具，下面举一个应用实例。 给定数域上的阶循环矩阵 试计算的行列式。 解 令为1的个次根，即方程在内的个根。构造上的阶方阵 因为两两不同，从§2例2.6知 令为上多项式。我们有 于是 现在利用定理3.4来计算上述式子。注意到右边矩阵第列有公因子，两边取行列式，有 因，故有 矩阵的秩与行列式 给定数域上的矩阵 取个正整数，其中可有相同者且属集合，属集合。定义 即取