行列式的计算方法(荔晓航).doc

行列式的若干计算方法 其中为自然数1，2，…，的一个排列，表示对所有的级排列求和,τ为这个排列的逆序数。 注 :利用阶行列式的定义来计算行列式的方法对于较简单的行列式，如一线型与二、三级行列式的计算比较方便，而对一般级数较高，非零元素很多的行列式，用定义法计算是很复杂的. 2．化上（下）三角法 利用行列式的性质化为上（下）三角形再得出结果. 【例1】 计算. 解： 注 : 能够利用三角法则进行计算的行列式的共同特征是每行（列）有尽可能多的相同的元素，我们利用性质把行（列）的倍数加到其他行（列），出现尽可能多的零，再化为上（下）三角形进行计算. 3．按行、列展开降级法 利用行列式的性质化某行（列）为除一个元素外其余元素全为零，然后按行（列）展开. 以上三种计算方法是计算行列式的基本方法，也是计算行列式的重要方法. 4．拉普拉斯定理（行列式的乘法规则） 拉普拉斯定理：设在行列式中任意取定了()个行，由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积和等于行列式. 【例2】 计算. 解 ： 在行列式中取定第一、二行.得到六个子式： ，， ， ，，. 它们对应的代数余子式为 ， ， ， ， ，. 根据拉普拉斯定理得 - ＋ ＝ ＝-7 从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的，这个定理主要是理论方面的应用. 5．递推法 利用行列式性质找出级行列式与级行列式之间的关系式，或者级行列式与，级行列式之间的关系式，然后再计算. 这里只来考察一种两项递推的情况：，其中，是与无关的常数，可以推导公式直接计算. 当0时，显然. 当≠0时，为了使递推公式进行变形，构造一元二次方程 ，设它的根为 ，，则有 +, -. 当=时， ， ， …… . 两边相加可得 α≠β时， 【例3】 计算阶行列式. 解 ：，二次方程，两个根为 ，-. 由公式可知 【例4】 计算级行列式. 解： ，二元方程有两个相等的根. 所以 注 当与是同型行列式，可考虑用递推公式.[6] 6．数学归纳法 对行列式的级数作数学归纳法. 【例5】 求证. 分析:这是一个与有关的命题，可用第二数学归纳法来证明. 证明 ⑴当时，左边，右边，结论成立. ⑵假定对于一切级数小于的行列式，结论都成立,对级行列式，按第一行展开有两项，接着第二项再按第一列展开，得 9-209-20 7．拆项法 把一个行列式的一行或一列的每个元素看成两个数的和，然后拆成两个行列式的和后再进行计算. 【例6】 计算. 分析：用拆项法比较简单. 解： 原式+ -- - - 8．全加法 当行列式中的各行（列）元素的和相等时，把所有行（列）统统加到某一行（列），再通过性质化简得出结果. 【例7】计算的值. 分析：该行列式的每行每列的元素之和均相等，故可用全加法先把所有的行（列）加到第一行（列），然后利用性质化为三角形行列式. 解 原式1010 1010-160 9．矩阵法 在行列式中，如果每个元素都可分解成乘积() 的形式，那么该行列式的矩阵就可转化为两个矩阵之积，只要这两个矩阵的行列式比较容易计算，那么可由公式计算行列式的值。 【例8】 计算的值. 解：该行列式的第行第列元素可转化为： 所以原行列式可转化为两个矩阵乘积的行列式 = 10．特征值法 设为矩阵的全部特征值，我们有公式 只要能求出矩阵的全部特征值，那么就可以计算的行列式. 【例9】 设表示阶单位矩阵，表示中的单位列向量，表示的转置，计算行列式. 解： 设，，则 显然是实对称矩阵，且rank1，所以的特征值至少有个为.设的另一个特征值为λ，由于，所以λ. 设是的任一特征值，是的属于的特征向量，那么于是，，说明 是的特征值，所以，即得，1，…，1，-1，于是得到. 11．利用分块矩阵计算行列式 命题1 ： 设、分别为与阶方阵，则 ⑴当为可逆时，有 ⑵当为可逆时，有 【例10】计算下面2阶行列式 . 解 ：令,,,为阶方阵. 由于,故为可逆方阵,又易知: 从而由命题1中(1)得 命题2：设、是两个阶方阵，则 【例11】. 命题3:设、、、都是阶方阵，则 ⑴如果ACCA且，则 ⑵如果BCCB且，则 【例12】 计算例13所给的2阶行列式.