裂项相消法求和附答案.docx

裂项相消法利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。（1）若是{an}等差数列，则,（2）（3）（4）（5）（6）（7）1.已知数列的前n项和为， ．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为．[解析] (1) ……………①时, ……………②①②得: 即 ……………………………………3分在①中令, 有, 即，……………………………………5分故对2.已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+8．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若a1=1，设Tn是数列{}的前n项和，求使不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值；[解析]（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………4分（Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，…………………………………………5分∴ =．…………………………………………6分∴ Tn===≥，…………………………………………8分又∵ 不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立，∴ ≥，…………………………………………10分化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分3.)已知各项均不相同的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设Tn为数列的前n项和,求T2 012的值. [答案] (Ⅰ)设公差为d,由已知得(3分)解得d=1或d=0(舍去),∴a1=2. (5分)故an=n+1. (6分)(Ⅱ)==-,(8分)∴Tn=-+-+…+-=-=. (10分)∴T2 012=. (12分)4.)已知数列{an}是等差数列,-=8n+4,设数列{|an|}的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn. (1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:≤Tn1. [答案] (1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d. (2分)∵-=8n+4,∴(an+1+an)(an+1-an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4. 当n=1时,d(2a1+d)=12;当n=2时,d(2a1+3d)=20. 解方程组得或(4分)经检验知,an=2n或an=-2n都满足要求. ∴an=2n或an=-2n. (6分)(2)证明:由(1)知:an=2n或an=-2n. ∴|an|=2n. ∴Sn=n(n+1). (8分)∴==-. ∴Tn=1-+-+…+-=1-. (10分)∴≤Tn1. (12分)5.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.[答案] 查看解析[解析] (Ⅰ)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(Ⅱ)bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当n为偶数时,Tn=-+…+-=1-=.当n为奇数时,Tn=-+…-+++=1+=.所以Tn=6. 已知点的图象上一点，等比数列的首项为，且前项和(Ⅰ) 求数列和的通项公式；(Ⅱ) 若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？[解析]解：(Ⅰ) 因为，所以，所以，，，又数列是等比数列，所以，所以，又 公比，所以，因为，又，所以，所以，所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，所以，当时，，所以. （6分）(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得，（10分）由得，满足的最小正整数为72. （12分）7. 在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列（）. （Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：.[解析] （Ⅰ）由条件得，由此可得.猜测. （4分）用数学归纳法证明：①当时，由上可得结论成立.②假设当时，结论成立，即，那么当时，.所以当时，结论也成立.由①②，可知对一切正整数都成立. （7分）（Ⅱ）因为.当时，由（Ⅰ）知.所以.综上所述，原不等式成立. (12分）8.已知数列的前项和是，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求使成立的最小的正整数的值．[解析] ?（1） 当时，，由， ? ? ? ? ?……………………1分?当时，?∴是以为首项，为公比的等比数列．　　 ? ? ? ? ……………………4分?故 ?…………………6分（2）由（1）知， ?………………8分?? ，?故使