计算几何2014.docx

攻读博士、硕士学位研究生试卷(作业)封面（2013至2014学年度第1学期）题 目： 函数的一致逼近理论 科 目： 计算几何 姓 名： 专 业： 计算数学 学 号： 导 师： 简短评语成绩：授课教师签字：Coons曲面的扩展摘　　　要　给出了三组含有参数的混合函数，它们分别是三组混合函数的扩展，基于这些含有参数的混合函数定义了三类带形状参数和的—Coons曲面，该曲面不仅具有Coons曲面的良好边界插值性质，还可以通过调整和值来改变曲面内部的形状，当时，—Coons曲面退化为Coons曲面．以一个双四次—Coons曲面片为例讨论了两个参数、对其内部凹凸性的影响．关　键　词 Coons曲面；形状参数；曲面设计0 　引言 Coons曲面方法是60年代由Coons提出的自由型曲面设计方法，采用了参数方法和分片技术，其方法理论严密、描述能力强，对自由曲面造型技术的发展具有深远的意义．Coons曲面方法是根据给定的边界条件，即四条边界曲线及其跨界切矢，跨界二阶导矢等，利用混合函数来构造的一类曲面．其特点是允许四条边界可以是任意类型的参数曲线，可以插值于边界曲线及其跨界切矢，甚至跨界二阶导矢，所以Coons曲面方法在基于边界插值的自由型曲面设计中得到了广泛的应用，在车、船、飞机的外形设计等领域中常常用到Coons曲面方法．然而在设计过程中，当一个曲面一旦边界条件确定了以后，Coons曲面也就确定了，因此要改变Coons曲面的形状就必须要改变曲面的边界条件后重新构造曲面，无法轻松的对曲面内部的形状进行控制，给设计人员带来了许多不便，本文基于这样的设计问题构造了新的带有参数的混合函数，通过新的混合函数构造了带形状参数和的双参数—Coons曲面，该曲面和Coons曲面具有同样的边界插值性质，在边界条件不变的情况下，可以通过改变两个参数和的值来改变曲面内部的形状，当时，带形状参数的—Coons曲面就退化为Coons曲面．　双二次—Coons曲面片的结构与性质定义1. 对，，称关于的二次函数 为带参数的二次混合函数．定义2. 设曲面片的四条边界曲线为、、、，定义为带形状参数的双二次—Coons曲面片，式中与按式所定义，参数分别为和．当时，双二次—Coons曲面片退化为双线性Coons曲面片． 双二次—Coons曲面片的性质：性质1. 几何不变性．由于双二次—Coons曲面片和双线性Coons曲面片一样利用参数化构造方法, 所以曲面片的形状和位置与坐标系的选择无关．性质 2. 边界性质．曲面片的四条边界分别插值于、、、证明．由定义2可以直接计算得到．　2　双四次—Coons曲面片的结构与性质 　定义3. 对,,称关于的四次函数　为带参数的四次混合函数. 易见,它们满足且当时，带参数的四次混合函数为三次混合函数，所以，它们是三次混合函数的扩展．定义4. 设曲面片的四条边界曲线为、、、，跨界切矢为、、、．定义　　为双四次—Coons曲面片，式中与按式所定义，参数分别为和．当时，双四次—Coons曲面片退化为第二类Coons曲面片．双四次—Coons曲面片的性质：性质 3．几何不变性．性质 4．边界性质．双四次—Coons曲面片除了插值于四条边界曲线、、、. 还插值于四条边界的跨界切矢、、、．证明．由定义4可以直接计算得到．　3　双六次—Coons曲面片的结构与性质定义5. 对,,称关于的六次函数　为带参数的六次混合函数. 显然，它们满足下述条件：且当时，带参数的六次混合函数为五次混合函数，所以，它们是五次混合函数的扩展．定义6. 设曲面片的四条边界曲线为、、、，跨界切矢为、、、，跨界二阶导矢为．定义曲面为双六次—Coons曲面片，式中与按式所定义，参数分别为和．当时，双六次—Coons曲面片退化为第二类Coons曲面片．双六次—Coons曲面片的性质：性质 3. 几何不变性．性质 4. 边界性质．双六次—Coons曲面片除了插值于四条边界曲线、、、，及其跨界切矢、、、，还插值于其跨界二阶导矢．证明．由定义6可以直接计算得到．4　—Coons曲面片的实例通过改变两个参数和的值来改变曲面内部的形状，以双四次—Coons曲面片为例，取边界信息矩阵以下为和取不同的值所得到的双四次—Coons曲面　　　　　　　　　图１．通过取不同的参数和的值和不同的边界信息矩阵，可以发现和取不同的值时可以得到不同的曲面，但对同样的边界信息矩阵这些曲面的边界曲线及其跨界切矢都是相同的．当和同号时曲面内部是凹下去的；当和异号时曲面内部是凸起来的；当和中一个为0，另一个大于0时曲面内部是凸起来的，另一个小于0时曲面内部是凹下去的；当时为给定边界曲线及其跨界切矢的第二类Coons曲面．曲面内部凹凸的程度和、成正比．