计算方法 基本概念和Newton-Cotes公式ch04a r.ppt

第四章数值积分与数值微分 本章内容 本讲内容 数值积分 几个简单公式 一般形式 代数精度 举例 举例 举例 代数精度 插值型求积公式 插值型求积公式 求积公式余项 举例 举例 收敛性 稳定性 Newton-Cotes 公式 Newton-Cotes 公式 Cotes 系数表 N-C 公式 N-C 公式代数精度 N-C 公式余项 作业 * * 计算方法 —— 基本概念 Newton-Cotes 公式 数值积分 基本概念 Newton-Cotes 求积公式 复合求积公式 Romberg 求积公式 Gauss 求积公式 多重积分 数值微分 数值积分的必要性 代数精度 插值型求积公式 收敛性与稳定性 数值积分基本概念 公式介绍 代数精度 余项表达式 Newton-Cotes 公式 微积分基本公式： (3) f (x) 表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表 但是在许多实际计算问题中 (2) F(x) 难求！甚至有时不能用初等函数表示。 如 (1) F(x) 表达式较复杂时，计算较困难。如 矩形公式 梯形公式 抛物线公式 基本思想： 数值积分公式的一般形式 求积节点 求积系数 机械求积方法 将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算 无需求原函数 易于计算机实现 一般地，用 f(x) 在 [a, b] 上的一些离散点 a ? x0 x1 ··· xn ? b 上的函数值的加权平均作为 f (?) 的近似值，可得 定义：如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ，公式 精确成立，但对某个次数为 m +1 的多项式不精确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精度 将 f (x) = 1, x, x2, … , xm 依次代入，公式精确成立; 但对 f (x) = xm+1 不精确成立。即： ( k = 0, 1, … , m ) 代数精度的验证方法 例：试确定 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度 解： 将 f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 代入求积公式，使其精确成立，得 … … 存在唯一解： 所以求积公式为： 具有至少 n 阶代数精度 例：试确定系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。 解： 将 f (x)＝1, x, x2 代入求积公式，使其精确成立，可得 解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求积公式为 易验证该公式对 f (x)＝x3 也精确成立，但对 f (x)＝x4 不精确成立，所以此求积公式具有 3 次代数精度。 例：(教材100页) 试确定下面求积公式中的系数，使其具有尽可能高的代数精度。 将 f (x)＝x3 代入，等号不成立，故公式具有 2 次代数精度。 解： 将 f (x)＝1, x, x2 代入求积公式，使其精确成立，可得 解得 A0 =2/3, A1 = 1/3, B0 =1/6。所以求积公式为 容易验证： 左矩形公式 和 右矩形公式 具有 零次 代数精度 中矩形公式 和 梯形公式 具有 一次 代数精度 特别地，任意具有 m ( ?0 ) 次代数精度的求积公式一定满足： 设求积节点为：a ? x0 x1 ··· xn ? b 若 f (xi) 已知，则可做 n 次多项式插值： 其中 插值型求积公式 误差： 其中 当 f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 时，有 即公式精确成立 性质：插值型求积公式具有至少 n 次代数精度 定理：下面的求积公式具有至少 n 次代数精度的充要条件是该公式是插值型的 证明：自学 性质：若求积公式的代数精度为 m，则余项为 其中 K 为待定系数，但与 f (x) 无关 如何确定 K 的值？ 将 f (x) = xm+1 代入可得 例：试确定梯形公式的余项表达式 解： 梯形公式 代数精度为 1，故 所以梯形公式的余项为 例：试确定下面的求积公式的余项表达式 解： 由前面的计算可知，该公式的代数精度为 2，故 所以该公式的余项为 定义：如果求积公式 满足 则称该求积公式是 收敛的。 设求积节点为：a ? x0 x1 ··· xn ? b ，令 ?xi = xi –xi-1 定义：对 ?? 0，若存在 ? 0，使得当 ( i = 0, 1, … , n) 时，有 则称该求积公式是 稳定的。 定理：若 Ai 0, i = 0,