计算方法 矩阵特征值计算ch08a r.ppt

第八章矩阵特征值计算 本章内容 本讲内容 特征值性质 圆盘定理 Rayleigh 商 幂法 幂法的收敛性 幂法的收敛性 幂法的收敛性 幂法 幂法 改进的幂法 举例 幂法的加速 举例 反幂法 反幂法 反幂法的加速 Rayleigh 商加速 几点注记 作业 * * 计算方法 —— 幂法与反幂法 特征值基本性质 幂法与反幂法 正交变换与矩阵分解 QR 方法 特征值基本性质 幂法 幂法的加速 反幂法 A x = ? x ( ? ? C, x ? 0 ) 性质 (1) 特征值与特征向量 (2) (3) (4) 若 A 对称，则存在正交矩阵 Q，使得 定理：(Gerschgorin 圆盘定理) 设 ? 是 A 的特征值，则 i=1, 2, ... , n 设 A=(aij)?Rn?n ，记 Gerschgorin 圆盘 若有 m 个圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这 m 个圆盘内恰好包含 m 个特征值。 定理：设 A 是 n 阶实对称矩阵，其特征值为 则对任意非零向量 x，有 且 称为矩阵 A 关于 x 的 Rayleigh 商。 (1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) ? 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算 计算矩阵的主特征值（按模最大）及其特征向量 假设：(1) |?1| |?2| ? … ? |?n| ? 0 (2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn 计算过程： 幂法（乘幂法，幂迭代） 收敛性分析 设 越小，收敛越快 当 k 充分大时，有 又 ( j =1, 2, ... , n ) vk 为 ?1 的近似特征向量 定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足 则由幂法生成的向量满足 注：幂法的收敛速度取决于 的大小 改进方法：规范化 幂法中存在的问题 ?1 的计算 定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足 则由改进的幂法生成的向量满足 (1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) ? 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算 改进的幂法 例：用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量 ex81.m 幂法的收敛速度取决于 的大小 当 r 接近于 1 时，乘幂法收敛会很慢！ 幂法的加速：原点平移法 令 B = A – pI，则 B 的特征值为：?i - p 选择适当的 p 满足： (1) ( j = 2, ... , n ) (2) 用幂法计算矩阵 B 的主特征值：?1 - p 保持主特征值 加快收敛速度 带位移的幂法 例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量，取 p=0.75 ex82.m 计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量 假设：(1) |?1| ? |?2| ? … ? |?n-1| |?n| 0 反幂法 (2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn A-1 的特征值为： 对应的特征向量仍然为 x1, x2, ..., xn 反幂法：对矩阵 A-1 使用幂法 定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足 则由反幂法生成的向量满足 (1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) ? 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算 反幂法 反幂法的收敛速度取决于 的大小 当 r 接近于 1 时，反乘幂法收敛会很慢！ 可以使用原点平移法对反幂法进行加速 问题：如何选择参数 p ？ 离 ?n 越近越好（但不能相等） Rayleigh 商加速 (1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) ? 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算 带位移的反幂法中需要计算 带位移的反幂法可以用于计算任何一个特征值 ?k 将参数 p 取为 ?k 附近 若已知特征值，计算特征向量时，可使用带位移的反幂法 令 p 足够靠近 ?k