计算方法 第五章第三节最优一致逼近.ppt

* 最 佳 逼 近 第 五 章 §3. 最优一致逼近 一、 最优一致逼近的概念与求法 例5.3.1 试求一次多项式在区间 [0,1] 上逼近函数 解 下面我们求最好的直线所满足的直线方程。设该方程为 整理得 我们知道，当用 Taylor 展开式或者插值多项式逼近函数时，在某些点可能没有误差，但在整个区间上误差可能很大， Runge 现象说明了这一点。如果用最佳平方逼近，多项式的摆动现象也说明高次最佳平方逼近多项式拟合不一定就会达到好的效果。那么，对于在区间 [a, b] 上连续的函数 f (x) ，是否必存在多项式序列 {Pn(x)}，使得在区间 [a, b] 上一致地逼近函数 f (x)呢？ 定理5.3.1 维尔斯特拉斯（Weierstrass）定理 称为无穷范数或者一致范数 定理5.3.2 （存在性定理） 定理5.3.3 （惟一性定理） 定义5.3.1 定义5.3.2 直接构造最优一致逼近多项式的确比较困难，不妨换个角度，先考察它应该具备的性质。有如下结论： 定理5.3.4 x y 0 y f x = ( ) y f x = + ( ) y f x = - ( ) y p x = ( ) 几何意义： 定理5.3.4（切比雪夫定理) 推论 可简化计算！ x y 0 y f x = ( ) y f x = + ( ) y f x = - ( ) y P x n = ( ) 由切比雪夫定理可推出： Pn(x) ? f (x) 在定义域上至少变号 n+1 次，故至少有n+1 个根。 可见Pn(x) 是 f (x)的 某一个插 值多项式 二、切比雪夫多项式的性质 性质1. 递推关系 证 性质2. Tn(x)为 n 次多项式，首项系数为 2n?1，T2n(x)只含 x 的偶次幂， T2n+1(x)只含x 的奇次幂。且Tn(x)在区间[0,1]上有 n个零点： 性质3. 性质4. 性质４称为切比雪夫多项式的极性，这种极性是我们构造近似最优一致逼近的依据。