轨迹问题(曲线与方程).doc

学智教育教师备课手册 教师姓名 学生姓名 填写时间 学科 年级 上课时间 课时计划 教学目标 教学内容 轨迹问题（曲线与方程） 个性化学习问题解决 教学重点、难点 教 学 过 程 §7.4轨迹问题 ? ? 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 2.点与曲线的关系? 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0两条曲线的交点? 若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 3.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率. 当0＜e＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e＞1时，轨迹为双曲线 4.坐标变换 （1）坐标变换? 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴. （2）坐标轴的平移公式? 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 (1)??????? 或????? (2) 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. ? 二、疑难知识导析　 ? 1.在求曲线轨迹方程的过程中,要注意： (1)理解题意,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的关系,进行知识的重新组合； (2)合理进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言,通过审题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式,把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言； (3)注意挖掘题目中的隐含条件； (4)注意反馈和检验. 2.求轨迹方程的基本方法有： (1)直接法：若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系,则将这些关系“翻译”成x,y的关系式,由此得到轨迹方程.一般步骤是：建立坐标系—设点—列式—代换—化简、整理. (2)定义法：即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线的定义建立方程. (3)待定系数法：已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再根据动点满足的条件确定待定系数. (4)相关点法：当动点P(x,y)随着另一动点Q(x1,y1)的运动而运动时,而动点Q在某已知曲线上,且Q点的坐标可用P点的坐标来表示,则可代入动点Q的方程中,求得动点P的轨迹方程. (5)参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y,从而得到动点轨迹的参数方程 ,消去t,便可得动点P的普通方程. 另外,还有交轨法、几何法等. 3.在求轨迹问题时常用的数学思想是： (1)函数与方程的思想：求平面曲线的轨迹方程,是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、y的方程及函数关系； (2)数形结合的思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合； (3)等价转化的思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互转化. ? ? [例1]如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|. 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|= 所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=, 代入方程x2+y2－