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2.定义在上的函数满足.当时,,当时,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】
试题分析:根据可知:是周期为的周期函数,且,
,所以答案为A.
考点:1.函数的周期性;2.利用函数的周期性求函数值.
3.设函数的定义域为,且是奇函数,是偶函数,设,则下列结论中正确的是
A.关于对称
B.关于对称
C.关于对称
D.关于对称
【答案】C
【解析】
试题分析:因为函数是奇函数,所以是偶函数,即与均为偶函数,其图象均关于对称,所以与的图象都关于直线对称,即的图象关于直线对称,故选C.
考点:1.函数的奇偶性;2.图象平移.
4.定义为R上的函数满足,,=2,则=( )
A.3 B. C. D.2
【答案】D
【解析】试题解析:∵;
∴
∴
考点:本题考查函数的性质
点评:解决本题的关键是求出函数的周期
5.已知函数满足.当时,,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:由,从而,故的周期为6,
考点:函数的性质
6.设是定义在实数集上的函数,且满足下列关系,,则是( ).
A.偶函数,但不是周期函数 B.偶函数,又是周期函数
C.奇函数,但不是周期函数 D.奇函数,又是周期函数
【答案】D
【解析】
试题分析:∵f(20-x)=f[10+(10-x)]=f[10-(10-x)]=f(x)=-f(20+x).∴f(20+x)=-f(40+x),结合f(20+x)=-f(x)得到f(40+x)=f(x)∴f(x)是以T=40为周期的周期函数;
又∵f(-x)=f(40-x)=f(20+(20-x)=-f(20-(20-x))=-f(x).∴f(x)是奇函数.故选:D
考点:本题考查函数的奇偶性,周期性
点评:解决本题的关键是准确理解相关的定义及其变形,即满足f(x+T)=f(x),则f(x)是周期函数,
函数的奇偶性,则考虑f(x)与f(-x)的关系
7.设f(x)定义R上奇函数,且y=f(x)图象关于直线x=对称,则f(-)=( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
【答案】C
【解析】
试题分析:由题意可得,,所以,选C.
考点:函数的奇偶性及对称性.
8.已知在上是奇函数,且满足,当时,,则 的值为 ( )
A. B...因—在[-1,1]上是增函数,所以在[-1,1]上非负,
所以 ,解得.
考点:1、函数的性质;2、导数判断函数的单调性.
32.已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.
(1)求证:f(x)是周期函数.
(2)已知f(-4)=2,求f(2012).
【答案】(1)详见解析 (2)2
【解析】
试题分析:(1) ,依次推导下去,问题即可得证. (2)根据(1)推导的的周期,根据周期性求的值.
试题解析:(1)证明 ∴,
则.
∴. 5分
∴是周期函数且6是它的一个周期. 7分
(2) . 12分
考点:函数的周期性.
33.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围图形的面积.
【答案】(1)π-4. (2)4
【解析】解:(1)由f(x+2)=-f(x),得
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,从而得
f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.
当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,
则S=4S△OAB=4×(×2×1)=4.
35.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x).
(1)求f(2 012)的值;
(2)求证:函数f(x)的图像关于直线x=2对称;
(3)若f(x)在区间[0,2]上是增函数,试比较f(-25),f(11
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