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证明线段相等的方法
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(一)常用轨迹中:两平行线间的距离处处相等。线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。角平分线上任一点到角两边的距离相等。若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等(图1)。
(二)三角形中:同一三角形中,等角对等边。(等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等)任意三角形的外心到三顶点的距离相等。任意三角形的内心到三边的距离相等。等腰三角形顶角的平分线(或底边上的高、中线)平分底边。直角三角形中,斜边的中点到直角顶点的距离相等。有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边(图2)。同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等。同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等(图3)。
(三)四边形中:平行四边形对边相等,对角线相互平分。矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等。菱形中四边相等。等腰梯形两腰相等、两对角线相等。过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰(图4)。
(四)正多边形中:正多边形的各边相等。且边长an?= 2Rsin (180°/ n)正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距rn?) 相等。???且rn?= Rcos (180°/ n)(五)圆中:同圆或等圆的半径相等、直径相等;等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等。任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。自圆外一点所作圆的两切线长相等。两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等;两外离圆的二内公切线的长也相等。两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分(图5)。
⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等(图6)。两同心圆中,内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分(图7)。
(六)全等形中:全等形中,一切对应线段(对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径……)都相等。(七)线段运算:对应相等线段的和相等;对应相等线段的差相等。对应相等线段乘以的相等倍数所得的积相等;对应相等线段除以的相等倍数所得的商相等。两线段的长具有相同的数学解析式,或二解析式相减为零,或相除为1,则此二线段相等。
证明角相等的方法
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(一)相交直线及平行线:二直线 相交,对顶角相等。二平行线被第三直线所截时,同位角相等,内错角相等,外错角相等。同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等,凡直角都相等。角的平分线分得的两个角相等。自两个角的顶点向角内看角的两边,若有一角的左边平行(或垂直)于另一角左边,一角的右边平行(或垂直)于另一角的右边,则此二角相等(图1、2)。
(二)三角形中:同一三角形中,等边对等角。(等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等)等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形(三内角都相等)直角三角形中,斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角形(图3)。
(三)四边形中:平行四边形对角相等。菱形的对角线平分一组对角。矩形的四角相等,且均为直角。等腰梯形同一底上的两角相等。(四)正多边形中:正多边形的各内角相等、外角相等,且内角= (n-2)180°/ n,外角=360°/ n正多边形的中心角相等,且中心角αn=360°/ n??。(五)圆中:同圆或等圆中,等弧或等弦或等弦心距所对的圆心角相等、圆周角相等。同圆或等圆中,含等弧或等弦的弦切角相等,且与所对的圆周角相等。同圆或等圆中,所夹二弧或二弦相等的圆内角相等、圆外角相等。自圆外一点所作圆的两切线,二切线所夹的角被过该点的连心线平分。两相交或外切或外离的圆中,二外公切线所夹的角被二圆的连心线平分;两外离的圆中,二内公切线所夹的角也被二圆的连心线平分(图4)。
⑥圆的内接四边形中,任一外角与其内对角相等。(六)全等形中:全等形中,一切对应角都相等。(七)相似形中:相似形中,一切对应角都相等。(八)角的运算:对应相等角的和相等;对应相等角的差相等。对应相等角乘以的相等倍数所得的积相等;对应相等角除以的相等倍数所得的商相等。两角的大小具有相同的数学解析式,或二解析式相减为零,或相除为1,则此二角相等。两锐角或两钝角的正弦具有相同的数学解析式,此二角相等;两角的余弦、正切具有相同的数学解析式,此二角相等。
证明线段不等关系的方法
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(一)常用轨迹中:(线段公理)所有连结两点的线中,线段最短。自直线外的一点,向直线作一条垂线和多条斜线,则斜线长的所对的射影也长;射影长的
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