人口模型及牛顿冷却.doc

3．人口模型和Logistic模型 18世纪末，英国人口学家马尔萨斯（Malthus, 1776－1834）对百余年的人口资料进行了研究，于1798年提出人口指数增长模型。他的基本假设是：单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。 设时间时的人口总数为，则根据马尔萨斯假设，在时间时人口总数为，从到 时间内，人口增长为，令，则得到微分方程 初始条件是时，人口为，即，这是一个可分离变量的微分方程，容易解得初始条件的解为 根据我国国家统计局1990年10月30日发表的公报，1990年7月1日我国国家人口总数11.6亿，过去8年人口平均增长率为14.8‰，利用这个公式，将，，代入，得到2000年我国人口总数为（亿），与实际情况基本吻合。 但是当 时，，这似乎是不可能的，随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口的增长的限制越来越显著，人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增长而减少。 为此，需要对指数模型关于净增长率是常数的基本假设进行修改。 荷兰生物学家Verhulst引入常数，用它表示自然资源和环境条件所能容许的最大人口数，并假定净增长率等于，即净增长率随着 的增加而减少，当 时，净增长率趋于零，这样，指数模型中的方程变为 初始条件仍为。 它仍然是一个可分离变量的微分方程 解得 利用初始条件，解得 代入得 容易看出，当 时，。 这个模型称为Logistic模型，其结果经过计算与实际情况比较吻合。图2－2－11是Logistic模型的图形。 图2－2－11 这个模型也适合自然环境保护区内野生动物增长，假定今年在保护区内放入野生动物20只，若被精心照料，预计野生动物增长规律满足，在年内，其总数为 当保护区内野生动物达到80只时，没有精心的照料，野生动物也将会进入正常的生长状态，即群体增长仍然符合上述表达式中的增长规律。现在的问题是： 需要精心照料的期限为多少年？ 在这一自然保护区中，最多能供养多少只野生动物？ 很容易，用 代入 （年） 当 ，。 所以，只须精心照料9年，这个保护区最多能供养220只野生动物。 例12　病，由于船上不能及时隔离，问经过60小时，72小时，患此病的人数。 解：设表示发现首例病人的小时后感染的人数，则 表示此时未受感染的人数，由题意知，。 根据学理，当感染人数很小时，传染病的传播速度较慢，因为只有很少的游客能接触到感染者；当感染人数 很大时，未受感染的人数 很小，即只有很少的游客能被感染，所以此时传染病的传播速度也很慢，排除上述两种极端的情况，当有很多的感染者及很多的未感染者时，传播速度很快。因此传染病的发病率，一方面受感染人数的影响，另一方面也受未感染人数的制约。 根据以上分析，得 ，是比例系数。 这是一个可分离变量的微分方程。 解得 这属于Logistic模型。 由条件， 解得 ， 于是， 又令 ，得 。 由此看出，在72h被感染的人数将是60h时感染人数的近2倍，可见在传染病流行时及时采取措施是至关重要的。 加热与冷却模型 物理学家牛顿（Newton）曾提出，一块热的物体，其温度下降的速度是与自身温度的差值成正比。同样，一块冷的物体，其温度上升的速度是与自身温度同外界温度的差值成正比。一杯热茶放在桌子上，其温度下降的速度是与它的温度同周围空气的温度差值成正比的。当茶温度下降时，由于热茶和空气的温度差值减小了，热茶降温的速度也就随之减小，一直到趋近于室内温度，此茶的温度变化如图2－2－13。 图2－2－13 山大?波普赞美牛顿的诗歌： 自然及其规律隐藏在黑暗中 上帝说 让牛顿诞生吧 于是一切有了光明 设一瓶热水，水温原来是，空气的温度是，经过20h以后，瓶内水温降到，求瓶内水温的变化规律。 解：设瓶内水的温度与时间之间的函数关系式为，而水的冷却速度为，并假设水在冷却过程下，空气的温度不变的。 根据冷却规律，有 　　　　　　　　　　　　（1） 其中是比例系数（），由于是单调减少的，即 所以式（1）右端前面应加“负号”，初始条件为 这是一个可分离变量的微分方程。 分离变量 两边积分，得 由初始条件，得。 其中比例系数可用问题所给的另一条件来确定，即得 因此瓶内水温与时间的函数关系为 例15 一次谋杀案，在某天下午4点发现尸体，尸体的体温为，假设当时屋内空间的温按照冷却定律开始变凉。 在时间时，尸体的温度为，温度的变化率与成正比，类似于例14得 由初始条件，解得 。 　　由实验得知，尸体经过2h的温度为，即。解得。故得 当，解得小时。 因此，谋杀案大约发生在下午4点发现尸