人口模型及牛顿冷却.doc

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人口模型及牛顿冷却

3.人口模型和Logistic模型 18世纪末,英国人口学家马尔萨斯(Malthus, 1776-1834)对百余年的人口资料进行了研究,于1798年提出人口指数增长模型。他的基本假设是:单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。 设时间时的人口总数为,则根据马尔萨斯假设,在时间时人口总数为,从到 时间内,人口增长为,令,则得到微分方程 初始条件是时,人口为,即,这是一个可分离变量的微分方程,容易解得初始条件的解为 根据我国国家统计局1990年10月30日发表的公报,1990年7月1日我国国家人口总数11.6亿,过去8年人口平均增长率为14.8‰,利用这个公式,将,,代入,得到2000年我国人口总数为(亿),与实际情况基本吻合。 但是当 时,,这似乎是不可能的,随着人口的增长,自然资源、环境条件等因素对人口的增长的限制越来越显著,人口较少时,人口的自然增长率基本上是常数,而当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随着人口的增长而减少。 为此,需要对指数模型关于净增长率是常数的基本假设进行修改。 荷兰生物学家Verhulst引入常数,用它表示自然资源和环境条件所能容许的最大人口数,并假定净增长率等于,即净增长率随着 的增加而减少,当 时,净增长率趋于零,这样,指数模型中的方程变为 初始条件仍为。 它仍然是一个可分离变量的微分方程 解得 利用初始条件,解得 代入得 容易看出,当 时,。 这个模型称为Logistic模型,其结果经过计算与实际情况比较吻合。图2-2-11是Logistic模型的图形。 图2-2-11 这个模型也适合自然环境保护区内野生动物增长,假定今年在保护区内放入野生动物20只,若被精心照料,预计野生动物增长规律满足,在年内,其总数为 当保护区内野生动物达到80只时,没有精心的照料,野生动物也将会进入正常的生长状态,即群体增长仍然符合上述表达式中的增长规律。现在的问题是: 需要精心照料的期限为多少年? 在这一自然保护区中,最多能供养多少只野生动物? 很容易,用 代入 (年) 当 ,。 所以,只须精心照料9年,这个保护区最多能供养220只野生动物。 例12 病,由于船上不能及时隔离,问经过60小时,72小时,患此病的人数。 解:设表示发现首例病人的小时后感染的人数,则 表示此时未受感染的人数,由题意知,。 根据学理,当感染人数很小时,传染病的传播速度较慢,因为只有很少的游客能接触到感染者;当感染人数 很大时,未受感染的人数 很小,即只有很少的游客能被感染,所以此时传染病的传播速度也很慢,排除上述两种极端的情况,当有很多的感染者及很多的未感染者时,传播速度很快。因此传染病的发病率,一方面受感染人数的影响,另一方面也受未感染人数的制约。 根据以上分析,得 ,是比例系数。 这是一个可分离变量的微分方程。 解得 这属于Logistic模型。 由条件, 解得 , 于是, 又令 ,得 。 由此看出,在72h被感染的人数将是60h时感染人数的近2倍,可见在传染病流行时及时采取措施是至关重要的。 加热与冷却模型 物理学家牛顿(Newton)曾提出,一块热的物体,其温度下降的速度是与自身温度的差值成正比。同样,一块冷的物体,其温度上升的速度是与自身温度同外界温度的差值成正比。一杯热茶放在桌子上,其温度下降的速度是与它的温度同周围空气的温度差值成正比的。当茶温度下降时,由于热茶和空气的温度差值减小了,热茶降温的速度也就随之减小,一直到趋近于室内温度,此茶的温度变化如图2-2-13。 图2-2-13 山大?波普赞美牛顿的诗歌: 自然及其规律隐藏在黑暗中 上帝说 让牛顿诞生吧 于是一切有了光明 设一瓶热水,水温原来是,空气的温度是,经过20h以后,瓶内水温降到,求瓶内水温的变化规律。 解:设瓶内水的温度与时间之间的函数关系式为,而水的冷却速度为,并假设水在冷却过程下,空气的温度不变的。 根据冷却规律,有             (1) 其中是比例系数(),由于是单调减少的,即 所以式(1)右端前面应加“负号”,初始条件为 这是一个可分离变量的微分方程。 分离变量 两边积分,得 由初始条件,得。 其中比例系数可用问题所给的另一条件来确定,即得 因此瓶内水温与时间的函数关系为 例15 一次谋杀案,在某天下午4点发现尸体,尸体的体温为,假设当时屋内空间的温按照冷却定律开始变凉。 在时间时,尸体的温度为,温度的变化率与成正比,类似于例14得 由初始条件,解得 。   由实验得知,尸体经过2h的温度为,即。解得。故得 当,解得小时。 因此,谋杀案大约发生在下午4点发现尸

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