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测量误差与数据处理 武汉大学出版社 2014年1月 第2章 误差传播与最小二乘法原理 方差与协方差传播律 协方差：描述两个随机变量之间的误差相关关系。 ，x和y不相关，相互独立，误差不相关 ，x和y是相关的，不独立 方差与协方差传播律 随机向量及其协方差阵 n维随机向量 方差—协方差阵 方差与协方差传播律 协方差传播律 观测值线性函数的方差 特例：当随机向量X中的各个分量两两相互独立时，它们之间的协方差为0，方差阵为对角阵，此时z的方差上式变为 方差与协方差传播律 【例2.1】用长度为L的钢尺量距，连续丈量了N个尺段。已知每一尺段的距离都是独立观测值，且其中误差均为m，求全长S的中误差。 ＊解：由于共丈量了N个尺段，故全长 由（2.13）知， ，即 。 方差与协方差传播律 【例2.2】设有观测值L1、L2和L3的函数 已知其方差分别为 ， ， 两两之间的协方差分别为 ， ， 。求函数F的方差。 ＊解：由方差阵的定义知， 观测值的方差阵为： 方差与协方差传播律 非线性函数的方差 问题：已知变量x的方差和协方差，求函数 的方差。 核心：将非线性函数化为线性函数。 方法：将函数在 处展开为泰勒级数。 方差与协方差传播律 非线性函数的方差 函数 的全微分 方差与协方差传播律 【例2.3】设有观测向量 ，已知其方差阵为 求 的函数 当 L1=2，L2=3，L3=4时的方差。 ＊解：因函数F是个非线性函数，求其全微分 方差与协方差传播律 误差传播律在测量中的应用 水准测量的精度 已知每站高差测量中误差 ，求测段AB中误差 A、B两点间的总高差： 方差与协方差传播律 水准测量的精度 已知每千米高差测量中误差 ，求测段AB中误差 设测段长为S,各测站距离s大致相等，则测站数N=S/s 方差与协方差传播律 【例2.4】水准测量中若要求每千米观测高差中误差不超过10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm，则该水准路线长度不应超过多少千米？ ＊解： 由公式 方差与协方差传播律 导线方位角的精度 方差与协方差传播律 同精度独立观测值的算术平均值的精度 方差与协方差传播律 【例2.5】已知某台经纬仪一测回测角中误差为6，如果要使各测回的平均值的中误差不超过2，则至少应测多少测回？ 第2章 误差传播与最小二乘法原理 权与定权的常用方法 权的定义：设有观测值 ，它们的方差为 设不等于零任意常数 ，则定义 的权为 权与定权的常用方法 单位权中误差 从权的定义式上看， 只起着一个比例常数的作用，而其值一经选定，它还有着具体的含义 ， 可以理解为衡量误差大小的“单位误差标准”。 凡是中误差等于 的观测值，其权必然等于1；或者说，权为1的观测值的中误差必然等于 。因此，通常称 为单位权中误差，而称 为单位权方差或方差因子，把权等于1的观测值，称为单位权观测值。 权与定权的常用方法 权与定权的常用方法 权与定权的常用方法 水准测量定权 权与定权的常用方法 权与定权的常用方法 【例2.8】如下图，确定水准路线观测值的权。 权与定权的常用方法 下面按路线长度定权的公式定权： 权与定权的常用方法 权与定权的常用方法 距离量测定权 权与定权的常用方法 距离量测定权 权与定权的常用方法 等精度观测算术平均值的权 协因数与协因数传播律 协因数 协因数与协因数传播律 协因数阵 协因数与协因数传播律 协因数阵 协因数与协因数传播律 权阵 协因数与协因数传播定律 协因数与协因数传播定律 协因数与协因数传播定律 协因数传播律 协因数与协因数传播定律 协因数传播律 协因数与协因数传播定律 协因数与协因数传播定律 由真误差计算中误差 菲列罗公式 由真误差计算中误差 用不同精度的真误差计算单位权中误差 由真误差计算中误差 由真误差计算中误差 利用双观测列之差求中误差 由真误差计算中误差 利用双观测列之差求中误差 由真误差计算中误差 利用双观测列之差求中误差 由真误差计算中误差 利用双观测列之差求中误差 由真误差计算中误差 由真误差计算中误差 解：令C=1，即令1km观测高差为单位权观测值。 （1）每公里观测高差的中误差