人教A版数学必修523等差数列的前n项和课件.ppt

* 等差数列的前n项和公式: 形式1: 形式2: 复习回顾 1.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？ 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 则 Sn=An2+Bn 令 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=－20 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为 7 n 11 3 Sn 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. ∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 由 得 ∴a7+a8=0 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得 ∴当n=7时,Sn取最大值49. a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8 又d=－20,a1=130 ∴a70,a80 求等差数列前n项的最大(小)的方法 方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号①当a10,d0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且an+1 ≥ 0求得. 练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为() A.12B.13C.12或13D.14 C 2.等差数列{an}前n项和的性质 性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列,公差为 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= 性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项), 此时有:S偶－S奇=, n2d 0 nd － (m+p) 性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),此时有:S偶－S奇=, 两等差数列前n项和与通项的关系 性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则 性质5:为等差数列. an 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=() A.63B.45C.36D.27 例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( ) A.85B.145C.110D.90 B A 3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为. －110 例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且 求和.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为. 例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=. 例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=. 5 10 153 等差数列{an}前n项和的性质的应用 例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由. 解:(1)由已知得 a1+2d=12 12a1+6×11d0 13a1+13×6d0 等差数列{an}前n项和的性质 (2) ∵ ∴Sn图象的对称轴为 由(1)知 由上得 即 由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值. ∴Sn有最大值. 练习1 已知等差数列25,21,19, …的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.