3.1_空间向量及其运算.ppt

问题2：平面向量中， 解： 3. 另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零. 证明： 如图,已知: 求证： 在直线l上取向量 ,只要证 为 逆命题成立吗? 分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析. 分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直. 例3(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . m n g 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理,有了! m n g 证: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在 上取非零向量 因m与n相交,故向量m ,n 不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使 通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题： 1.证明两直线垂直; 2.求两点之间的距离或线段长度; 3.证明线面垂直; 4.求两直线所成角的余弦值等等. 3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示 共线向量定理: 复习： 共面向量定理: 平面向量基本定理： 平面向量的正交分解及坐标表示 x y o 问题： 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？ x y z O Q P 一、空间向量的坐标分解 给定一个空间坐标系和向量 且设 为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在 所确定平面上的正投影 由平面向量基本定理有 一、空间向量的坐标分解 x y z Q P O 由此可知,如果 是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量 , 存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 我们称 为向量 在 上的分向量. 空间向量基本定理： 都叫做基向 量 注: 如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在有序实数组{x,y,z}使 探究：在空间中,如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ,你能得出类似的 结论吗？ （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底. 特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确： （2 由于可视 为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是 . （3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念. 推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使 当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。 二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyz x y z e1 e2 e3 O 在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一向量 ,平移使其起点与原点o重合,得到向量OP=P由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z}使 P =xe1+ye2+ze3 此时向量P的坐标恰是点P在直角坐标系oxyz中的坐标(x,y,z)，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标. x y z O P(x,y,z) e1 e2 e3 在空间直角坐标系O – x y z 中，对空间任一点P, 对应一个向量 ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z,使