3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 教学课件(人教A版选修2-3).ppt

3．1　回归分析的基本思想及其初步应用 【课标要求】 1．了解随机误差、残差、残差分析的概念； 2．会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果； 3．掌握建立回归模型的步骤； 4．通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法 和初步应用． 【核心扫描】 1．利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，求线性回 归方程．(重点) 2．回归模型的选择，特别是非线性回归模型．(难点、易错 点) 1．回归分析 回归分析是对具有 的两个变量进行统计分析的一种常用方法． 2．线性回归模型 (1)由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不是一条直线上，不能用一次函数y＝bx＋a描述它们之间的关系，因此用线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示，其中a、b为未知参数，e为 ． (3)解释变量和预报变量 线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项e，因变量y由 和 共同确定，即自变量x只解释部分y的变化，在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量． 试一试：下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过 (　　)． 　　 　　　　　　　　　　　　　　　 A．点(2,3)　　　 B．点(1．5,4) C．点(2．5,4)　　　 D．点(2．5,5) 提示　选C．线性回归方程必过样本点的中心(，)，即(2．5,4)． 3．刻画回归效果的方式 想一想：回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？ 提示　不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动等． 题型一　求线性回归方程 【例1】 某班5名学生的数学和物理成绩如下表： (1)画出散点图； (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． [思路探索] 先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关，若相关再利用线性回归模型求解． 解　(1)散点图如图． [规律方法]　(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析． (2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义． 【变式1】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据： (1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格． 题型二　线性回归分析 【例2】 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示： (1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R2； (3)进行残差分析． [思路探索] 作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明：(1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄． [自主解答] (1)散点图如图 【变式2】 已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据： 求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏． 题型三　非线性回归分析 【例3】 下表为收集到的一组数据： (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系； (2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差； (3)利用所得模型，预报x＝40时y的值． 审题指导 (1)画出散点图或进行相关性检验，确定两变量x、y是否线性相关．由散点图得x、y之间的回归模型． (2)进行拟合，预报回归模型，求回归方程． [规范解答] (1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1、c2为待定的参数．(4分) 【变式3】 为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下： (1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图； (2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系； (3)计算相关指数． 解　(1)所作散点图如图所示． 用相关指数R2来比较模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，并不是R2越小拟合效果更好． 325 115 66 24 21 11 7 y 35 32 29 27 25 23 21 x 190 95 49 25 12 6 繁殖个数y/个 6 5 4 3