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* 第三章 连续系统数字仿真  §3-1 基于数值积分法的连续系统仿真  §3-2 基于离散相似法的连续系统仿真  §3-3 系统非线性环节的仿真 §3.1 基于数值积分法的连续系统仿真 3.1.1 数值积分基本原理 3.1.2 数值积分方法的选择 3.1.3 基于数值积分法的连续系统仿真 3.1.4 数值积分法的MATLAB函数 连续系统的数学模型一般都能以微分方程的形式给出，所以连续系统仿真算法问题通常可归结为如何用计算机来求解微分方程的问题，也就是对一阶微分方程如何进行求解。数值积分法是解决该问题的重要方法之一。 例如，假设有一系统，它的数学模型可用 （1）式所示微分方程来描述 3.1.1 数值积分基本原理 §3.1 基于数值积分的连续系统仿真 三、龙格—库塔法（Runge—Kutta法） 龙格—库塔法的基本思想是：用几个点上的函数值的线性组合来代替函数的各阶导数，然后再按泰勒级数展开确定其中的系数。 下面以二阶RK法为例介绍其基本原理。 ( 5 ) 将K2用二元函数泰勒级数展开式展开，并只取前三 项，则有： 首先假设式（1）的解具有下面的形式： 式中，a1、a2、b1、b2为待定系数。 将 K1、K2 代入式（5），得： ( 6 ) 比较式（5）与（6）可以得到： 另一方面，将ym+1在ym附近进行泰勒展开，并只取 前三项，则有： 上述3个方程中有4个未知数，因而解不是唯一的。若限定 ，则可得其中一组解： 将它们代入式（5），可得一组计算公式： 截断误差为 O(h3) 截断误差为 O(h5) （6） 梯形公式可看作二阶龙格—库塔公式，截断误差正比h3 （2）步长 h可变。 RK的特点： 四、亚当姆斯（Adams）法 单步法在计算ym+1时，只利用前一步的ym的值，经过若干步的计算以后，可以求出一系列的值y1，y2，….，yn。如果充分利用前面多步的值来计算ym+1，则可以达到既提高计算速度又能获得较高精度的目的，这就是多步法的基本思想。在多步法中，应用较广的是Adams法。 Adams法有显式积分和隐式积分两种。 Adams显式一般形式： （5） 式中， 为显式Adams公式系数，部分数据如下表 如二次（Adams）亚当姆斯公式： 三次（Adams）亚当姆斯公式： 即是多步法计算公式。 多步法与单步法相比，欲达相同精度，计算工作量较少，在相同条件下多步法比单步法要快。 计算稳定性 仿真计算时，是否仍然稳定呢？先看下面的例子： 从稳定性理论，我们知道如何去从系统的微分 方程或传递函数去判断该系统的稳定性。那么，对 于一个稳定的连续系统，当用某数值积分方法进行 五、数字仿真中的几个问题 （4） 小结： 一般稳定性与步长关系密切（除恒稳公式之外），若用两种显著不同的步长所得到的数值解有明显差别，则可能是这种数值方法不稳定；反之如果基本相同，则一般视为是稳定的 。 3.1.2 数值积分方法的选择 一、积分方法的选择 1．精度问题。 在步长相同的条件下，积分方法的阶数越高，精度越高；另外，多步法的精度比单步法高，隐式算法的精度高于显式算法。因此，当需要高精度时，可采用高阶的多步隐式算法和较小的步长。若精度要求不高，一般可选择低阶算法。 2．速度问题。 为加快计算速度，可在精度要求不高时，尽量选择低阶的计算工作量少的方法。 3．稳定性。 数值解的稳定性必须保证，否则计算结果将失去真实意义。不同的方法有不同的稳定性，要通过合适选择步长来保证稳定性。 4．自启动能力。 单步法有自启动能力，多步法没有自启动能 力，必须借助于单步法启动运算之后，才能开始 工作。一般简单的仿真程序多用单步法。 5．步长变化能力。 单步法在整个计算中，步长可在一定范围内变化；而多步法则对步长的变化有严格的要求。若要求仿真时步长可变，最好用单步法。 ? 综上所述，积分方法的选择与多种因素有关，各因素之间又相互影响。究竟选哪一种方法，要由具体系统及具体要求而定。 一般情况下四阶RK法应用最