31关于实数的基本定理.ppt

福州大学数学与计算机学院 第三章、关于实数基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 确界原理 单调有界性定理 区间套定理 聚点原理与致密性定理 柯西收敛准则 有限覆盖定理 证明：取ε＝?，对任意正整数n,取m=2n,有 柯西收敛准则的几何解释 柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起. x1 x2 x3 x4 x5 证明： 由致密性定理，在数列｛xn｝中 必有收敛子列. 因为｛xn｝是基本数列 在上式中取 ，其中k充分大,满足 ， 并令 ,于是得到 即｛xn｝收敛 . 例4．设 所以，原数列发散． 第二部分、极限续论 第一节 关于实数的基本定理 一 子列 定理1 若数列｛xn｝收敛于a, 则它的任何子列 ｛a ｝也收敛于a , 即 证明： 由 可知 ， 取K=N,于是当kK 时，有 因而成立 推论：若存在数列｛xn｝的两个子列 分别 收敛于不同的极限，则数列｛xn｝必定发散 . 例1 证明数列 发散. 证明：取 则 由上述推论 子列 推论即函数极限并归原则的必要性(已证明). 定义1 当S既有上界又有下界,称S是有界集,否则称S无界. 二 上确界和下确界 M M2 M1 上确界 上界 m2 m m1 下确界 下界 确界 先给出确界的直观定义:若数集S有上界, 则显然它有无穷多个上界,其中最小的一个上界 我们称它为数集S的上确界,记作supS; 的一个下界，称为该数集的下确界,记作infS 同样,若数集S有下界,有无穷多个下界,其中最大 定义2 若β是数集S 的上界: 确界的精确定义 例2 考察下列数集的上确界与下确界 事实上 :１）ｂ是I的一个上界： ，有 ２）任何小于ｂ的数 不是I的上界， 使得 因此 b a x 同理可证 证 例3 数集I=｛x∣axb｝,即 I=(a , b), a与 定理3 (确界原理) 非空有上界的数集必有上确界； 非空有下界的数集必有下确界. 数集有上（下）确界,则上（下）确界是唯一的. 定理2 不妨设数列 单调增加且有上界，根据确 （1） （2） 界存在定理，由 构成的数集必有上确界 满足： 定理4 单调有界数列必有极限. 证明:(应用确界原理证明) 因而 于是 几何解释: 定义 (区间套) : 具有如下性质 设闭区间列 三 区间套定理 则称该闭区间列为闭区间套,或简称区间套. 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即闭区间的端点满足不等式: . 1 2 2 1 b b b a a a n n ￡ ￡ ￡ ￡ ￡ ￡ ￡ ￡ L L L 说明: 定理5(区间套定理) 或若有 且 则 注意:1.区间套定理中各个区间应是闭区间, 若是开区间定理不一定成立． 例如｛(1,1/n)}显然一个套一个，且 但不存在一个公共点属于所有开区间 由条件（1）可知 证明:（应用单调有界定理） 显然， 由定理4 设 则有 . x x = 故有 证毕. 下面证明满足题设条件的ξ是唯一的 设ξˊ也满足: 推论 四 聚点定理与致密性定理 定义 设S为数轴上的无穷点集, 若ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点, ξ为定点,(它可以属于S,也可以不属于S) 则称ξ为S的一个聚点. 说明: 聚点概念与下列两个说法等价. 定理 (Weierstrass聚点定理) 实轴上任一有界无限点集 ,至少有一个聚点. 证明:(应用区间套定理证明) 证毕. 证明： 于是存在实数a 1,b1 成立 定理6(致密性定理) 　　任一有界数列必有收敛子列. 致密性定理 将闭区间 等分为两个小区间 则其中至少有一个含有数列｛xn｝中的 与 无穷多项， 把它记为 ，再将闭区间 等分 为两个小区间 与 ， 同样其中至少有一个区间含有 数列｛xn｝中的无穷多项，把它们记为 都含有数列｛xn｝中的无穷多项.根据闭区间套定理， 存在实数ξ满足 现在我们证明数列｛xn｝必有一子列收敛于实数 . 个闭区间套 ，其中每一个闭区间 中 这样的步骤可以一直做下去 .于是得到一 首先在 中