第二章插值法..ppt

Confidential, for review onlyBorland * Confidential, for review onlyBorland * 若用Pn(x)近似f(x)，则误差为Rn(x)。当x=xi(i=0,1, 2,…,n)时， Rn(xi )=0， p(xi)= yi ；而当x?xi时， Rn(xi ) ? 0， 所以p(xi)? f(x) Confidential, for review onlyBorland * 若用Pn(x)近似f(x)，则误差为Rn(x)。当x=xi(i=0,1, 2,…,n)时， Rn(xi )=0， p(xi)= yi ；而当x?xi时， Rn(xi ) ? 0， 所以p(xi)? f(x) Confidential, for review onlyBorland * 实用中常采取等距节点 xi+1 - xi = h，利用此特点，引入差分概念，可简化计算 Confidential, for review onlyBorland * Confidential, for review onlyBorland * This is a placeholder for the demo. It reminds you when to switch over to the demo and it tells the audience why you are going to show them what you are showing both before the demo and when you switch back to the slides. 第一种类型：给定两端点f(x)的一阶导数值： 第二种类型：给定两端点f(x)的二阶导数值： 作为特例, 称为自然边界条件。满 足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样 条插值函数。 第三种类型：当f(x)是以为 周期的函数时，则要求S(x)也是周期函数,这时边界条件应满足 当 时， 这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间?xi , xi+1?上的表达式S(xi）(i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。 2.5.2 三次样条插值函数的求法 设S(x)在节点xi处的二阶导数为 因为在子区间?xi-1,xi?上 是三次多项 式,所以 在此小区间上是x的线性函数, 且因为 ,用线性插值,可知其表达式为 记 ，则有 其中,Ai,Bi为积分常数,可利用插值条件 确定,即要求Ai,Bi满足 并记 ，则得 连续两次积分得 (5.31) 将其代入（5.31）即得 （5.32） 由上讨论可知,只要确定 这n+1个值, 就 可定出三样条插值函数S(x)。 为了求出 ,利用一阶导数在子区 间连接点上连续的条件 对式(5.32)求导一次,得在区间?xi-1,xi?上的表达式为 （5.33） 也就是在右端点xi上有 在左端点xi-1上有 将上式中的i-1改为i,即得在子区间?xi,xi+1?上的表 达式 ,并由此得 利用 在内接点的连续性,即 就可得到关于参数 的一个方程 （5.34） 上式两边同乘以 ,即得方程 若记 （5.35） 则所得方程可简写成 （5.36） 即 这是一个含有n+1个未知数、n-1个方程的线性方程 组.要完全确定 的值还需要补充两个 条件,这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插 值区间?a,b?的两个端点处的边界条件来补充。边界 条件的种类很多，常见的有以下3种： 第一种边界条件：即已知插值区间两端的一阶导数值： 则可得到包含Mi的两个线性方程,由(5.33)知,S(x)在子区间? ?上的导数为 由条件 得 即 (5.37) 同理,由条件 得 (5.38) 将式（5.36）和式（5.37）以及式（5.38）合在一起 即得确定 的线性方程组 (5.39) 其中 第二种边界条