优化模型与LINGO编程.doc

第一章 经济中的数学模型 1．1最大利润问题 在经济学中，边际成本、边际收益，他们分别表示总成本、总收益对产量（销售量）的导数。如果 已知边际收益、边际成本、固定成本及获得最大利润的生产水平，如何求最大利润？试给出数值计算的例子。 假设：生产是产销平衡的。 p----产品的单位售价； --产品的单位成本； q----销售量; R----总收入 L----总利润； C----总成本 模型： ---------------（1） 最优的价格就是满足方程（1）的解。最大利润 说明： 在经济学上，定义为边际成本、定义为边际收益； 要获最大利润的条件是 比如： 对的解释是：a-----称为绝对需求量，即免费供应该产品时的社会需求量；b-----表示价格上涨（下跌）一个单位时销量下降（上升）的幅度，反映市场需求对价格敏感程度。 1．2 转售机器的最佳时间问题 由于折旧等因素，某机器转售价格是时间 （周）的减函数， ，其中 是机器的最初价格。在任何时间 ，机器开动就能产生 的利润。问机器使用多长时间后转售出去能使总利润最大？这利润是多少？机器卖了多少钱？ 假设：（1）在T时间出售机器，当T=0时为机器的买入价； （2）总利润为L； （3）不考虑生产过程中的各种费用。 模型： 驻点T=0不是最优解，T=48ln32是最优解（可以用二阶导数判断） 利润的最大值 机器卖出价. 1．3 道格拉丝(Douglas)的经济增长模型 发展经济，增加生产有两个重要因素，一是增加投资（扩大厂房，购买设备，技术革 新等），二是增加劳动力。恰当调节投资增长和劳动力增长的关系，使增加的产量不致被劳动力的增长抵消，劳动生产率才能不断提高，从而真正起到发展经济的作用，为此，需要分析生产量、劳动力和投资之间变化规律，从而保证经济正常发展。 假设: 在t时刻,企业的产量-----------------------------------------------Q(t) 企业的劳动力------------------------------L(t) 企业的投资金------------------------------K(t) 企业中劳动生产率(每个劳动力占有的产量)----Z(t) 定义: -------------企业产量的相对增长率(指数) -------------企业劳动力的相对增长率(指数) -------------企业投资金的相对增长率(指数) 模型建立: 道格拉丝(Douglas)生产函数 对于一个企业而言,指数的变化关系是关键,而不是绝对量Q(t),L(t),K(t). 著名的经济学家Douglas理论:在正常的经济发展过程中,三种指数都是随时间增长的, Douglas从大量统计数据中发现如下规律: 令 则二者之间存在线性关系: 根据Douglas理论,我们可得: 上式就是Douglas的经济增长模型,可以解释为:a)相对增长率(指数)之间呈线性关系；b)当时，产量的增长主要靠劳动力的增长，当时，产量的增长主要靠投资金的增长；c) 被称为产量对劳动力的弹性系数。 （2）劳动生产率Z(t)增长的条件 则 上式解释为：提高相对劳动生产率的前提是投资的相对增长率大于劳动力的相对增长率。 1．4 经济指标的灵敏度分析 在经济问题中，灵敏度分析与边际效用具有相同的概念，即当某一变量指标发生微小变化时，目标函数的相应变化情况。一般的处理方法是：利用偏导数（微分），似乎没有什么困难。但问题是，目标函数必须是连续，可导的。下面我们要讨论一种用差分方法分析目标函数的灵敏度分析（边际效用）。 G(x) F(x) a d c b 设F(x),G(x)表示两种状态的单价函数，Y表示由F(x),G(x)在的最小费用。 在时， 当一种状态的单价函数F(x)改变时，对min(Y)的影响有多大？ 显然： 一般情况下，取（即一个价格单位），的值可近似看作