第五章插值法..ppt

代数插值 代数插值应用举例 概念 问题 3. Newton型多项式插值 Newton插值构造 例子 差商的性质 §4 Hermite插值 4.1 Hermite插值 引例（续1） 引例（续2） 引例的误差估计： 对Hi(x): 两个节点的三次Hermite插值多 4.2 误差估计 4.3 Hermite插值的一般形式 §5 多项式插值的缺陷与分段插值 多项式插值的缺陷举例 多项式插值的缺陷举例（续2） 几点启示 启示（4） 5.2 分段多项式插值 1、分段线性插值 2、分段抛物插值 构造函数y = ln x在x?[1,10]上的等距数表，应如何选取步长h，才能在利用该数表进行分段线性插值时，使误差不超过10-6/2。 分段插值的余项及收敛性和稳定性 §6 样条插值 6.1 样条函数的概念 三次样条插值举例 三次样条插值举例（续） 1. 以节点处的二阶导数值为参数的三次样条插值函数  建立关于M的关系式 建立关于M的关系式（续1） 建立关于M的关系式（续2） M关系式的三种边界条件 M关系式的三种边界条件（续1） M关系式的三种边界条件 M关系式的三种边界条件（续3） 2. 以节点处的导数值为参数的三次样条插值函数 以节点处的导数值为参数的三次样条插值函数（续3） 例11(续) 例11(续) ——三转角方法求解 计算三次样条插值函数的步骤 三次样条插值函数的收敛性 三次样条插值函数的收敛性（续） 小 结 分段线性插值误差 例9 （2）收敛性 设f (x)在[a, b]上连续，则可以证明， 当h?0时，上述分段插值多项式P1(x)， P2(x)，H (x)等都一致收敛于f (x)。 （3）稳定性 简单分段插值具有突出的局部性质， 其每个节点至多只影响到直接衔接的两 个子区间而不远及，因而，节点的数据 误差基本上不扩散，不放大。所以，简 单分段插值具有高度的数值稳定性。 分段插值具有良好的稳定性和收敛性，有效地 避免了龙格现象的发生，且算法简单，因此在实际应用中占有重要地位，但是，其光滑性较差。前面所介绍的方法只保证函数连续或其一阶导数连续，满足不了许多工程技术提出的对插值函数的光滑性有较高要求的计算问题。 例如，船体、飞机的机翼外形，内燃机的进、 排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑 程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，即二 阶导数连续。对于分段插值，要增加光滑度，就 要采用更高阶的导数值，而这一点实际应用中往 往是很难提供的。为解决这一类问题，导致产生 了样条插值。 所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制造过程中，被用于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压铁将其固定在一些给定的型值点上，在其它地方任其自然弯曲，并稍作调整，使样条具有满意的形状（各段接口处呈光滑状），然后沿样条画出曲线，称为样条曲线，它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点即型值点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导数也是连续的.由此抽象出数学模型称为样条函数。 给定区间[a, b]的一个划分a = x0 x1…xn = b， 如果函数S (x)满足（1）在每个小区间[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1) 上S (x)是m次多项式； （2）S (x)在[a, b]上具有m?1阶连续导数。 则称S(x)为关于上述划分的m次样条函数。 显然，按此定义，折线是一次样条函数。而用“样条”绘出的图形为三次样条函数曲线，也是最常用的样条函数。那么，确定一个三次样条函数需要多少个条件呢？由上述样条函数定义（1）中知，S(x)在每个小区间[xi,xi+1]上是一个三次多项式，因此需要确定4个待定常数，一共有n个小区间，故应确定4n个参数。由定义中条件（2），S (x)应在n?1个内点上具有二阶连续导数，即应满足条件： 共有3(n?1)个条件。因此，要确定一个三次样条函数， 还需要另增加4n?3(n?1) = n+3 个条件。 利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。例如分段线性插值是一次样条插值。 已知函数y = f (x)在区间[a, b]上的n +1个节点a = x0x1… xn = b上的值yj=f (xj)(j=0,1,…,n)，求插值函数S (x)使其满足： （1）S(xj)=yj(j=0,1,…,n)； （2）在每小区间[xj,xj+1](j=0,1,…,n-1)上S (