传热学第四章2(免费阅读).ppt

第四章　导热问题的数值解法 上海交通大学 第四章　导热问题的数值解法 4-1 导热问题数值求解的基本思想 1 物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程 (1) 泰勒级数展开法 将式①和式③相加 同样可得：  二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为： 其节点方程为： 说明： 1 ）迭代过程发散； 2 ）对角占优； 迭代公式的选择应使一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和，此时，结果一定收敛。这一条件数学上称主对角线占优； 4-4. 非稳态导热问题的数值解法 直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法 迭代解法：先对要计算的场作出假设、迭代改进、收敛。 缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题 迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德　 　　　　　尔迭代、块迭代、交替方向迭代等 高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代使用节点温度必威体育精装版值 在计算后面的节点温度时应按下式（采用必威体育精装版值） 例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度： 判断迭代是否收敛的准则： k及k+1表示迭代次数； —第k次迭代得到的最大值 当有接近于零的t 时，第三个较好 3 ）热平衡法时选导出该方程中心节点的温度作　　为迭代变量，迭代一定收敛。 非稳态导热数值解法的特点： （1）非稳态导热微分方程多了非稳态项，因此单值性条件中增加了初始条件； （2）除了对空间域进行离散外，还需要对时间域进行离散； （3）利用热平衡法导出节点温度方程时需要考虑控制容积的热力学能随时间的变化； （4）由于时间和空间同时离散，在有些情况下空间步长和时间步长不能任意选择，否则会带来节点温度方程求解的稳定性问题。 * * 第一章复习 导热 傅里叶定律：(2) 对流换热 牛顿冷却公式：(3) 热辐射斯忒藩－玻耳兹曼定律 ： (4) 传热过程 直角坐标系导热微分方程式 第二章复习 圆柱坐标系： 多层平壁的导热 单层平壁的导热 带入傅立叶定律 单层圆筒壁的导热 长度为 l 的圆筒壁的导热热阻 虽然时稳态情况，但热流密度 q 与半径 r 成反比！ 多层圆筒壁的导热 热阻 毕渥数 第三章复习 集总参数法:零维问题。 ＝ 时间常数 4-0 引言 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数值计算法；(3) 实验法 三种方法的基本求解过程 (1) 理论分析方法，直接对微分方程进行积分 (2) 数值计算法，离散、求物理量的值 　　(3) 　实验法 3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见 (2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低 (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法 a 适应性不好； b 费用昂贵 数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD） 建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化） 建立节点物理量的代数方程 设立温度场的迭代初值 求解代数方程 是否收敛 解的分析 改进初场 是 否 二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题 2 例题条件 x y n m (m,n) M N 3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长 二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题 4 建立离散方程的常用方法： (1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法) 4-2 内部节点离散方程的建立方法 截断误差 未明确写出的级数余项中的ΔX的最低阶数为2 (2) 控制容积平衡法(热平衡法) 基本思想：取有限大小的控制容积，应