定积分c及其应用 文献综述.doc

咸阳师范学院 毕业论文(设计)文献综述 题目：定积分及其应用 学生姓名：马永升 系 别：数学与信息科学学院 专 业：应用数学 年 级：2008级 学 号：0806014322 本(专) 科：本科 指导教师：李艳艳 定积分及其应用 摘要：定积分在几何、物理、初等数学以及在其他方面的应用。讨论了应用定积分在图形面积、立体图形体积、求数列极限、求变速直线运动的路程、求变力所做的功的方法。 关键词：定积分；几何；物理；初等数学 极限是数学分析的一个重要概念，若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和，那么计算此数列的极限科以转化为计算定积分，这是计算这类数列极限的一个简便、有效的方法。 例如：求的值。 解 = 式是函数f（x）=sinx在区间[a,b]上的一个积分和，它是把[0,1]分成n等份。i取[的左端点（即i=）构成的积分和，由定积分定义可得 = 许多教师在讲此内容时将例题一带而过，导致大部分学生做习题不知从何下手，基础较好的学生也只是模仿例题，但对该方法理解不深。 一 定积分在数学中的应用 1利用定积分求平面图形的面积。 一般地，有上、下两条连续曲线 y=f2(x)与y=f1(x)以及两条直线 x=a与x=b（ab）所围的平面图形如图（1） 所示，它的面积计算公式为 A=。 （1） (1) 设曲线C有参数方程x=x(t),y=y(t),t[] (2) 给出，在[]上y(t)连续可微且(t)≠0（对于y(t)连续可微且≠0的情形可类似讨论）。记a=x((ab或ba),则由曲线C及直线x=a,x=b和x轴所围的图形，其面积计算公式为A=. 如果由参数方程（2）所表示的曲线自身所围图形是封闭的，既有且在（）内自身不再相交，那么由曲线自身所围图形的面积为A=（或）。 例1 求由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围平面图形的面积A. 解 该平面图形如图（2）所示。先求出抛物线与直线的交点P（1，-1）与Q(9,3).用直线x=1把图形分为左、右两部分，分别求得它们的面积为 A1=， ， 所以. 也可把抛物线方程和 直线方程改写成 . 并改写积分变量为y， 于是得 (2) 例2求椭圆所围的面积。 解 化椭圆为参数方程椭圆面积为 。 显然当a=b=r时这就等于圆面积 2求立体图形的体积 用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积, 常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,例如求一个铁块的体积,可以将此铁块划分成许多基本的小铁块,每一块的厚度为б(x),假设每一个基本的小铁块的横切面积为A(x),则此小铁块的体积大约是A(x)б(x),将所有的小铁块加起来,令n=б(x)→0,我们就可以得到其体积v v= 其中b和c分别为计算体积是的起始值和终了值， 例3椭圆面所为立体的体积 解:以平面 )截椭球面,得椭圆在YOZ平面上的正投影 所以截面面积函数为 于是求得椭球体积 显然当=r 时,就等于球的体积 例4:由直线y=a和直线x=3a及弧y2=ax,(a0，a≤x≤3a)所围成的区域，以x轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？ 如图2，斜线区域即为题意所指的区域, 根据旋转体体积的求法，可将区域OPQB的旋转体积减去区域APCB的旋转体积，即为所求 解：我们首先来求区域APQB的旋转体积： =|==4a 而区域APCB的旋转体积为一个圆柱的体积， 其半径为a，高为2a，故应为： 所以区域PCQ的旋转体积为 二 定积分在物理中的应用 定积分在物理学中应用,可以说是定积分最重要的应用之一,正是由于微积分的发展,使得物理学中精确测量,计算成为可能,从而使物理学得到长足的发展, 定积分的应用主要是在力学中 例如:有一个方向恒定的变力F对一个物体做功,若这个变力对物体的作用距离为S ， F为S的函数F=f(s),则有变力F所做的功为 (其中a,b为变力F的起始与末尾值) 例5 质量为m的摆锤系于绳的下端,绳长为,上端固定 如图(4)所示,一水平变力F从零逐渐增大缓慢的作用在 摆锤上,使摆锤虽力F在移动,但在所有时间内均无限地 接近力平衡,一直到绳子与竖直直线成角的位置， 试计算变力F所做