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解决天体运动问题的方法 一、基本模型 计算天体间的万有引力时，将天体视为质点，天体的全部质量集中于天体的中心；一天体绕另一天体的稳定运行视为匀速圆周运动；研究天体的自转运动时，将天体视为均匀球体。 二、基本规律 1．天体在轨道稳定运行时，做匀速圆周运动，具有向心加速度，需要向心力。所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。设质量为m的天体绕质量为M的天体，在半径为r的轨道上以速度v匀速圆周运动，由牛顿第二定律及万有引力定律有：?。这就是分析与求解天体运行问题的基本关系式，由于有线速度与角速度关系?、角速度与周期关系?，这一基本关系式还可表示为：?或?。 2．在天体表面，物体所受万有引力近似等于所受重力。设天体质量为M，半径为R，其表面的重力加速度为g，由这一近似关系有：?，即?。这一关系式的应用，可实现天体表面重力加速度g与?的相互替代，因此称?为“黄金代换”。 3．天体自转时，表面各物体随天体自转的角速度相同，等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最大，所需向心力?最大。对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛顿第二定律有：?，式中N为天体表面对物体的支持力。如果天体自转角速度过大，赤道上的物体将最先被“甩”出，“甩”出的临界条件是：N=0，此时有：?，由此式可以计算天体不瓦解所对应的最大自转角速度；如果已知天体自转的角速度，由?及?可计算出天体不瓦解的最小密度。 三、常见题型 1．估算天体质量问题 由关系式?可以看出，对于一个天体，只要知道了另一天体绕它运行的轨道半径及周期，可估算出被绕天体的质量。 例1．据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高200km，运行周期为127分钟。若还知道引力常量和月球半径，仅利用以上条件不能求出的是 A．月球表面的重力加速度　　　　B．月球对卫星的吸引力 C．卫星绕月运行的速度　　　　　D．卫星绕月运行的加速度 解析：设月球质量为M，半径为R，月面重力加速度为g，卫星高度为h，运行周期为T，线速度为v，加速度为a，月球对卫星的吸引力为F。 对于卫星的绕月运行，由万有引力定律及牛顿第二定律有：?，由此式可求知月球的质量M。由“黄金代换”有：?，由这两式可求知月面重力加速度g。由线速度的定义式有：?，由此式可求知卫星绕月运行的速度。由万有引力定律及牛顿第二定律有：?，由此式可求知绕月运行的加速度。由万有引力定律有：?，由于不知也不可求知卫星质量m，因此，不能求出月球对卫星的吸引力。故，本题选B。 2．估算天体密度问题 若已知天体的近“地”卫星（卫星轨道半径等于天体半径）的运行周期，可以估算出天体的密度。 例2．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10-11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为 A．1.8×103kg/m3?B．5.6×103kg/m3?C．1.1×104kg/m3?D．2.9×104kg/m3 解析：对于近地卫星饶地球的运动有：?，而?，代入已知数据解得：ρ=2.9×104kg/m3。本题选D 3．运行轨道参数问题 对于做圆周运动的天体，若已知它的轨道半径，可以计算它的运行线速度、角速度、周期等运行参数，并且可以看出，这些参数取决于轨道半径。 例3．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100陪。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 A．恒星质量与太阳质量之比 B．恒星密度与太阳密度之比 C．行星质量与地球质量之比 D．行星运行速度与地球公转速度之比 解析：由万有引力定律和牛顿第二定律有：?，解得：?，由题意可知，能求出恒星质量与太阳质量之比。由?及题意可知，能求出行星运行速度与地球公转速度之比。本题选AD。 4．人造地球卫星问题 人造卫星运行轨道的中心与地球球心重合。同步通信卫星的轨道与赤道平面重合，运行的角速度（或周期）与地球的自传角速度（或周期）相同，距地面的高度一定。近地卫星的轨道半径与地球半径相等。 例4．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响 （1）推导第一宇宙速度v1的表达式； （2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期 解析：（1）第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度。设卫星的质量为m，地球的质量为M，在地球表面附近满足?，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即?，解得：?； （2）对于卫星绕地球的运动，由万有引力定律及牛顿第二定律有：?，而?，解得：? 例5．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用